单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,杆件的内力及其求法,梁的内力图及其绘制,弯矩、剪力、荷载集度,间的关系,叠加法作剪力图和弯矩图,其它杆件的内力计算方法,小结,第一节,第二节,第三节,第四节,第五节,返回,第四章 杆件的内力分析,第一节 杆件的内力及其求法,一、杆件的外力与变形特点,平面弯曲,荷载与反力均作用在梁的纵向对称平面内，梁轴线也在该平面内弯成一条曲线。,1,.,弯曲,梁（,横向力,作用）,受力特点,：,垂直杆轴方向作用外力，,或杆轴平面内作用外力偶；,变形特点,：,杆轴由直变弯,。,单跨静定梁的基本形式：,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,2,、,轴向拉伸与压缩,杆（,纵向力,作用）,受力特点：,外力与杆轴线方向重合；,变形特点：,杆轴沿外力方向伸长或缩短。,3,、,扭转,轴（,外力偶,作用）,受力特点：,外力偶作用在垂直杆轴平面内；,变形特点：,截面绕杆轴相对旋转。,4,、,组合变形,两种或两种以上基本变形的组合。,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,二、梁的内力及其求法,1,、剪力和弯矩的概念,图示简支梁在荷载及支座反力共同作用下处于平衡状态。,求距支座,A,为,x,的横截面,m-m.,上的内力。用,截面法,求内力。,步骤,：,1),截开,2),代替,内力,外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。,杆件横截面上的内力有：,轴力，剪力，弯矩，扭矩,等。,剪力,Q,限制梁段上下移动的内力,;,弯矩,M,限制梁段转动的内力偶。,单位：,剪力,Q,KN,N,；,弯矩,M,KN.m,，,N.m,3),平衡,若取右半段梁为研究对象,可得：,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,1,）剪力,Q,：,截面上的剪力,Q,使所取脱离体产生,顺时针,转动趋势时（,或者左上右下）为正,，反之为负。,2,）弯矩,M,：,截面上的弯矩,M,使所取脱离体产生,下边凸出,的变形时（或者,左顺右逆）为正,，反之为负。,为避免符号出错,要求：,未知,内力,均按,符号规定的,正向,假设,。,返回,下一张,上一张,小结,2,、剪力和弯矩的,符号规定,返回,下一张,上一张,小结,例,3-1,：,悬臂梁如图所示。求,1-1,截面和,2-2,截,面上的剪力和弯矩。,解：,1,）求,1-1,截面上的内力,求得的,Q,1,、,M,1,均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。,矩心,O,是,1-1,截面的形心,。,2,）求,2-2,截面上的内力,求得的,Q,2,、,M,2,均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。,矩心,O,1,是,2-2,截面的形心。,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,例,3-2,外伸梁如图，试求,1-1,，,2-2,截面上的剪力和弯矩。,解：,1,、求支座反力：由整体平衡,校核：反力无误。,2,、求,1-1,截面上的内力：取左半段研究,矩心,o,1-1,截面形心,3,、求,2-2,截面上的内力：取右半段研究,若取左半段梁研究，则,矩心,o,2-2,截面形心,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,3,、,直接法,求梁的内力,：（由外力直接求梁横截面上的内力）,（,1,）梁任一横截面上的,剪力,在,数值上等于该,截面一侧,（左侧或右侧）,所有外力沿截面,方向,投影,的代数和,；,符号规定：外力使截面产生,顺时针转,动趋势时（或左上右下）该截面,剪力为正,，否则为负；,（,2,）梁任一横截面上的,弯矩,在,数值上等于该,截面一侧,（左侧或右侧）,所有外力对截面形心力矩,的代数和,；,符号规定：外力使梁段产生,上凹下凸,变形时（或左顺右逆）该截面,弯矩为正,，否则为负；,计算时可按,二看一定,的顺序进行：一看截面一侧有几个力，二看各力使梁段产生的变形，最后确定该截面内力的数值。,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,例,3-3,：,简支梁如图所示。试计算,1-1,、,2-2,、,3-3,、,4-4,截面上的剪力和弯矩。,解,：,1,）求支座反力,2,）计算截面内力,1-1,截面：,反力无误。,校核,2-2,截面：,3-3,截面：,4-4,截面,:,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,第二节 梁的内力图及其绘制,梁各截面的内力随截面位置而变化，其函数关系式,Q,x,=Q(x),M,x,=M(x),称作,剪力方程和弯矩方程,。,列,内力方程,即求任意截面的内力,。,反映,剪力（弯矩）随截面位置变化规律的曲线,，称作,剪力（弯矩）图,。,二、剪力图和弯矩图的作法：,取平行梁轴的轴线表示截面位置,，,规定,正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧；,可先列内力方程再作其函数曲线图。,如悬臂梁：当,x=o,Q(x)=-P,M(x)=0;,x=l,Q(x)=-P-,ql,M(x)=-Pl-ql,2,/2.,其剪力图和弯矩图如图示。,返回,下一张,上一张,小结,一、剪力图和弯矩图的概念,返回,下一张,上一张,小结,例,3-4,作图示悬臂梁的内力图。,解：,1.,列内力方程,：（先确定,x,坐标，再由直接法求,x,截面的内力。）,2.,作内力图,：（先取坐标系确定端点坐标，再按内力方程特征绘图。）,Q(x),等于常数，为水平线图形；由,作剪力图,M(x),等于,x,的一次函数，为斜直线图形；由,作弯矩图,结论：当梁段上,没有荷载,q,作用时，,剪力图为水平线,，,弯矩图为斜直线,。,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,例,3-5,作图示简支梁的内力图。,解：,1.,列内力方程：先求支座反力,利用对称性,：,2.,作内力图：,Q(x),为,x,的一次函数，,Q,图为斜直线；,作,M(x),为,x,的二次函数，,M,图为抛物线；,结论：当,梁段上有均布荷载,q,作用时，,Q,图为斜直线,，,M,图为二次抛物线,。,作,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,例,3-6,作图示简支梁的内力图。,解：,1.,列内力方程：求支座反力：由整体平衡,校核无误。,因,P,作用，内力方程应分,AC,和,CB,两段建立。,AC,段,：,CB,段,：,2.,作内力图：,AC,段：,CB,段：,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,结论：,在集中力,P,作用截面，,Q,图发生,突变,，突变值等于该集中力,P,的大小；,M,图,有尖角,，尖角的指向与集中力,P,相同。,内力函数的不连续是由于,将集中力的作用范围简化为一个点,的结果。若考虑集中力为微梁段上的均布荷载，则,C,截面的,Q,图和,M,图应为斜直线和抛物线。,因此，当谈到集中力作用出的剪力时，,必须指明,是集中力的,左侧截面（,C,左）,还是,集中力的,右侧截面（,C,右,）。,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,例,3-7,作图示简支梁的内力图。,解：,1.,列内力方程：求支座反力,校核无误。,AC,段：,CB,段：,2.,作内力图：,AC,段：,CB,段：,结论：,在集中力偶作用截面，,Q,图不受影响；,M,图有突变,，突变值等于该集中力偶的力偶矩。（谈弯矩时，,必须指明,集中力偶作用截面的左侧或者右侧。）,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,第三节 弯矩、剪力、荷载集度间的关系,一、,弯矩、剪力、荷载集度间的关系,由梁微段的平衡条件：,(M,o,矩心,O,取在右侧截面的形心。,),将,(b),代入,(a),，,(a),、,(b),、,(c),三式即,Q,、,M,、,q,间的关系。,力学意义,：,微分形式的平衡方程,；,几何意义,：,反映内力图的凹凸性,；（一阶导数反映切线斜率；二阶导数反映曲线凹凸性。）,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,二、,M,、,Q,、,q,三者间关系在内力图绘制中的应用（内力图特征）,q=0,梁段,q=c,梁段,P,作用截面,m,作用梁段,梁上外力,剪力图,弯矩图,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,例,3-8,：,用简捷法绘出图示简支梁的内力图。,解,：,1,）计算支座反力,在,Q=0,处，弯矩有极值,数值为：由,BC,段：,AB,段：,BC,段：,AB,段：,3,）画内力图,：（先求控制截面内力值，再按,内力图特征画图。）,剪力图,校核无误,。,2),梁分段：为,AC,CB,两段。,弯矩图,返回,下一张,上一张,小结,4,）确定内力最大值：,在,B,支座处。,在距,B,支座,3m,处。,返回,下一张,上一张,小结,三、简捷法绘梁内力图的步骤：,1.,求支座反力,；（,注意校核！,悬臂梁可省略,。）,2.,将梁分段,；（,以梁上荷载变化处为界，包括,：,P,、,m,作用点，,q,的起止点，梁的支座和端点等。）,3.,绘内力图,；（先确定控制截面内力值，再按 绘图，最后用内力图特征检验。,控制截面即梁分界截面。注意,P,、,m,作用处应取两侧截面。）,4.,确定内力最大值及其位置,。,(,从图上直接找,。,),简捷法绘梁内力图的关键是：正确确定控制截面内力值（一般用直接法）；熟记内力图的特征。,确定控制截面内力值的方法有三种：,1,）,截面法,；（三个步骤，两套符号规定。）,2,）,直接法,；（由外力定内力符号看梁的变形。）,3,）,积分法,。（微分关系逆运算的应用。）,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,内力图特征,3,）积分法求指定截面的内力：,假定梁段上,从左向右,依次有,A,、,B,两个点，,A,点的,Q,A,、,M,A,已知,，可由此计算,B,点的,Q,B,、,M,B,.,。,A B,由,A,、,B,两点间分布荷载图形的面积,同理，由,A,、,B,两点间剪力图形的面积,如此，可利用积分法从梁左端向右端依次确定各控制截面内力值；按内力图的特征逐段绘图。这样需知,梁端点上的内力值,：,梁端点,荷载,剪力值,弯矩值,铰支座无,集中荷载,支反力值,零,固定端无,集中荷载,支反力值,支反力偶矩,自 由 端,无集中荷载,零,零,集中力,P,P,力值,零,集中力偶,m,零,m,力偶矩,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,例,3-9,试用简捷法绘制图示外伸梁的内力图。,解：,1,、求支座反力：,校核无误；,2,、梁分段：为,AC,CD,DB,BE,四段；,3,、绘图：,从左向右逐段作,Q,图和,M,图；,检验,Q,最后与右端,P,2,值相等,结果无误；,M,极值点的确定,:,（由三角形的相似比）,4,、确定内力最大值,：,|,Q|,max,=7kN,在,A,端；,|M|,max,=20.5kN.m,在距,A,端5,m,处（在,F,端）。,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,第四节 叠加法作剪力图和弯矩图,一、叠加原理：分析图示悬臂梁。,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,叠加原理,：,由几个荷载所引起的反力，内力或其它参数（应力、位移）,等于,各个荷载单独引起的,该参数值相叠加。,二、叠加法作剪力图和弯矩图,步骤：,1,）先把作用在梁上的复杂,荷载分解,为几组简单荷载单独作用,情况；,2,）,分别作,出各简单荷载单独作用下梁的剪力图和弯矩图。,（各图已知或容易画出，可查表,51,）,3,）,叠加,各内力图上对应的,纵坐标,代数值，得原梁的内力图。,叠加原理适用条件：,参数与荷载成线性关系。,即各种荷载对结构产生的效应（即各参数）彼此独立。,对静定结构，小变形假设可保证这一点。,注意,：,叠加不是图形的拼合，而是将同一截面上的内力值代数相加；是各简单荷载下的内力图在对应点的,纵坐标相加,。,返回,下一张,上一张,小结,返回,下一张,上一张,小结,例,310,用叠加法作图所示外伸梁的,M,图。,解,：,1,）先分解荷载为,P1,、