单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高等数学（下）,河海大学理学院,*,第四节 含参变量积分,第四节 含参变量积分,1,一、含参变量积分的连续性,设函数 在矩形,上的连续函数.积分,确定了一个定义在,上的 的函数,称为,含参变量 积分。,一、含参变量积分的连续性设函数 在矩形,2,定理1,如果函数 在矩形,上连续，那么由积分,确定的函数 在 上也连续.,也是参变量 的函数.,同理,要点是:积分号与极限号的互换.,定理1 如果函数 在矩形,3,例1,求,例1 求,4,由于 在闭区域 上连续，从而一致连续.,因此对于任意取定的 ,存在 ,使得对于 内的任意两点 及 ,只要它们之间的距离小于 ,即,就有,因为点 与 的距离等于 ,所以当,时,就有,于是由（1）式有,定理1证,设 和 是 上的两点，则,由于 在闭区域 上连续，从而,5,所以 在 上连续.定理得证,注,既然函数 在 上连续,那么它在 上的积分存在,这个积分可以写为,右端积分式函数 先对 后对 的二次积分.,所以 在 上连续.,6,定理2,如果函数 在矩形,上连续,则,公式（2）也可写成,要点是:积分号与积分号的互换.,定理2 如果函数 在矩形上连续,则公式（2）,7,定理1,如果函数 在矩形,上连续，又函数 与 在区间 上连续，,则含参变量积分 在也连续.,定理1 如果函数 在矩形上连续，又函数,8,当 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，,定理1证,设 和 是 上的两点，则,当 时，上式右端最后一个积分的积,9,根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又,其中 是 在矩形 上的最大值.根据 与 在 上连续的假定，由以上两式可见，当 时，（4）式右端的前两个积分都趋于零.于是，当 时，,所以函数 在 上连续.定理得证,根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又其中,10,例2,计算,例2 计算,11,定理3,如果函数 及其偏导数 都在,则 在 上可微，并且,矩形上 连续，又函数 与 在区间 上可微，并且,二、含参变量的函数的微分,称为莱布尼茨公式.,定理3 如果函数 及其偏导数,12,下面先考虑由积分(*)确定的函数 的微分问题.,定理3 如果函数 及其偏导数 都在,矩形 上连续,那么由积分(1)确定的函数 在 上可微分,并且,要点是:积分号与求导号的互换.,下面先考虑由积分(*)确定的函数 的微分问,13,例3,例3,14,例4,例4,15,证,因为,为了求 ，先利用公式(1)作出增量之比,由拉格朗日中值定理，以及 的一致连续性，我们有,证因为为了求 ，先利用公式(1)作出增量之,16,其中 ，可小于任意给定的正数 ，只要,小于某个正数 .因此,这就是说,综上所述有,令 取上式的极限，即得公式（5）.,其中 ，可小于任,17,例5,设,求,解,3,例5设求解3,18,例6,例6,19,例7,求,解,这里函数 在矩形,上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有,例7 求解 这里函数 在矩形上,20,例8,计算定积分,考虑含参变量 的积分所确定的函数,显然，根据公式(5)得,解,例8 计算定积分 考虑含参变量 的积,21,把被积函数分解为部分分式,得到,于是,把被积函数分解为部分分式,得到于是,22,上式在 上对 积分,得到,即,从而,上式在 上对 积分,得到即从而,23,1、含参变量的积分所确定的函数的定义；,四、小结,2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；,3、含参变量的积分所确定的函数的微分；,4、莱布尼茨公式及其应用.,要点是:积分号与极限号,求导号,积分号的互换.,1、含参变量的积分所确定的函数的定义；四、小结2、含参变量,24,定理3证,由(4)式有,当 时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则,定理3证由(4)式有 当,25,对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得,其中 在 与 之间.当 时,对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得其中 在,26,类似地可证,当 时,因此，令 ，取(8)式的极限便得公式(7).,公式(7)称为,莱布尼茨公式,.,于是,类似地可证,当 时,因此，令,27,