单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,.,.,向量数乘运算及其几何意义,高中数学 必修,4,第二章 平面向量,*.向量数乘运算及其几何意义高中数学 必修4,*,复习,1:,向量的加法,B,A,如图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a+b.,b,a,o.,O,.,C,a+b,b,a,A,B,b,a+b,a,*复习1:向量的加法BA如图,已知向量a和向量b,作向量a+,*,复习,2:,向量的减法,o.,B,A,a-b,如图,已知向量,a,和向量,b,作向量,a-b.,a,b,a,-b,o.,B,A,a,b,*复习2:向量的减法o.BAa-b如图,已知向量a和向量b,*,实际背景,在物理中：位移与速度的关系：,s,=,v,t,，,力与加速度的关系：,f,=m,a.,其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量,*实际背景在物理中：位移与速度的关系：s=vt，,*,练习,1:,O,A,P,B,探究,:,相同向量相加以后，和的长度与方向有什么变化？,-a,如图,已知向量,a,作向量,a+a+a,和,(-a)+(-a).,a,a,-a,a,a,-a,OA=a+a+a,PB=(-a)+(-a),=3a,=-2a,*练习1:OAPB探究:相同向量相加以后，和的长度与方向有,*,定义,:,特别地，当,=0,或,a=0,时,a=0,(2),方向 当,0,时,a,的方向与,a,方向相同；,当,0,时,a,的方向与,a,方向相反；,(1),长度,|a|=|,|a|,一般地，实数,与向量,a,的积是一个向量，这种运算叫做,向量的数乘运算,，记作,a,。,它的长度和方向规定如下：,几何意义：将 的长度扩大（或缩小）倍，改变（不改变）的方向，就得到了,a,|,a,a,*定义:特别地，当=0 或 a=0 时,a=,*,练习,2:,结论,:,2a+2b=2(a+b),结论,:,3(2a)=6 a,(1),根据定义，求作向量,3(2a),和,(6a)(a,0,),，并比较。,(2),已知向量,a,b,，求作向量,2(a+b),和,2a+2b,，并比较。,=,*练习2:结论:2a+2b=2(a+b)结论:3(2a)=,*,(a)=()a,运算律,:,设,a,、,b,为任意向量，,、,为任意实数，则有：,(+)a=a+a,(a+b)=a+b,结合律,第一分配律,第二分配律,*(a)=()a 运算律:设a、b为,*,练习,3:,解,:(1),原式,=,(2),原式,=,(3),原式,=,计算：,(,口答,),(1)(-3)4 a,(2)3(a+b),2(a-b)-a,(3)(2a+3b-c),(3a-2b+c),(3-2-1)a+(3+2)b,=5b,(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c,=-a+5b-2c,-12a,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。,对于任意的向量,a,b,以及任意实数,恒有,(,1,a,2,b)=,1,a,2,b,*练习3:解:(1)原式=(2)原式=(3)原,*,思考,:,定理,:,当,a,与,b,同方向时，有,b=a;,当,a,与,b,反方向时，有,b=-a,，,所以始终有一个实数,，使,b=a,。,向量,b,与,非零向量,a,共线,当且仅当有唯一,一个实数,，使得,b=a.,1,、如果,b=a,那么，向量,a,与,b,是否共线？,2,、如果非零向量,a,与,b,共线，那么是否有,，使,b=a,？,对于向量,a(a0),、,b,，如果有一个实数,，使得,b=a,那么，由数乘向量的定义知：向量,a,与,b,共线。,若向量,a,与,b,共线，,a0,，且向量,b,的长度是,a,的长度的,倍，即有,|b|=|a|,且,*思考:定理:当a与b同方向时，有b=a;当a与b反方向时,*,例题,1:,A,E,D,C,B,解：,=3 AC,=3(AB+BC),AB+BC=AC,=3 AB+3 BC,又,AE=AD+DE,AC,与,AE,共线,如图，已知,AD=3AB,、,DE=3BC,，试判断,AC,与,AE,是否共线,?,*例题1:AEDCB解：=3 AC=3(AB+BC,*,例题,2:,解：作图如右,O,A,B,C,依图猜想,:A,、,B,、,C,三点共线,A,、,B,、,C,三点共线,.,a,b,b,b,已知任意两非零向量,a,、,b,，,试作,OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b,。,你能判断,A,、,B,、,C,三点之间的位置关系吗？为什么？,b,a,AB=OB-OA,AC=2AB,又,AC=OC-OA,=a+3b-(a+b)=2b,=a+2b-(a+b)=b,又,AB,与,AC,有公共点,A,，,*例题2:解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线,*,A,D,B,M,C,例,3,如图,:,ABCD,的两条对角线交于点,M,且,你能用，表示,吗？,*ADBMC例3 如图:ABCD的两条对角线交于点M,且,*,练习,4:,P,90,2,、,3,、,4,、,5,*练习4:P90 2、3、4、5,*,小结回顾,:,二、知识应用：,1.,证明 向量共线；,2.,证明 三点共线,:AB=BC A,B,C,三点共线；,3.,证明 两直线平行,:,AB=CD ABCD,AB,、,CD,不重合,直线,AB,直线,CD,一、概念与定理,a,的定义及运算律,向量共线定理,(a0),b=a,向量,a,与,b,共线,*小结回顾:二、知识应用：直线AB直线CD一、概念与,*,作业,:,P,91,9,、,12,谢 谢,!,*作业:P91 9、12谢 谢!,