单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Fundation of Geodesy,*,第四章 地球椭球数学投影变换的基本理论,4.1,地球椭球基本参数及其互相关系,4.2,椭球面上常用坐标系及其关系,4.3,椭球面上的几种曲率半径,4.4,椭球面上的弧长计算,4.5,大地线,4.6,将地面观测值归算至椭球面,4.7,大地测量主题解算概述,4.8,地图数学投影变换的基本概念,4.9,高斯平面直角坐标系,4.10,横轴墨卡托投影和高斯投影簇的概念,4.11,兰勃脱投影概述,2024/11/19,1,Fundation of Geodesy,第四章 地球椭球数学投影变换的基本理论 4.1地球,第四章 地球椭球数学投影变换的基本理论,4.1,地球椭球基本参数及其互相关系,地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素):,长半轴,短半轴,椭圆的扁率,椭圆的第一偏心率,椭圆的第二偏心率,通常用,a ,2024/11/19,2,Fundation of Geodesy,第四章 地球椭球数学投影变换的基本理论4.1地球椭球基本参数,为简化书写，还常引入以下符号,2024/11/19,3,Fundation of Geodesy,为简化书写，还常引入以下符号2023/10/43Fundat,4.2,椭球面上常用坐标系及其关系,4.2.1,各种坐标系的建立,1,、大地坐标系,大地经度,B,大地纬度,L,大地高,H,2024/11/19,4,Fundation of Geodesy,4.2 椭球面上常用坐标系及其关系2023/10/44Fu,2,、,空间直角坐标系,定义：,1,、坐标原点,位于总地,球椭球(或参考椭球)质心；,2,、,Z,轴,与地球平均自转轴相重合，,亦即指向某一时刻的平均北极点；,3,、,X,轴,指向平均自转轴与平均格,林尼治天文台所决定的子午面与赤道面的交点,G,；,4,、,Y,轴,与此平面垂直，且指向东为正。,地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。,2024/11/19,5,Fundation of Geodesy,2、空间直角坐标系2023/10/45Fundation o,3,、,子午面直角坐标系,设,P,点的大地经度为,L,，,在过,P,点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立,x, y,平面直角坐标系。在该坐标系中，,P,点的位置用,L, x, y,表示。,2024/11/19,6,Fundation of Geodesy,3、子午面直角坐标系 2023/10/46Fundation,4,、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系,设椭球面上,P,点的大地经度,L,，,在此子午面上以椭圆中心,O,为原点建立,地心纬度坐标系,; 以椭球长半径,a,为半径作辅助圆，延长,与辅助圆相交,点，则,OP,与,x,轴夹角称为,P,点的,归化纬度,u。,2024/11/19,7,Fundation of Geodesy,4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 2023/10/47Fu,5,、大地极坐标系,M,是椭球面上一点，,MN,是过,M,的子午线，,S,为连接,MP,的大地线长，,A,为大地线在,M,点的方位角。,以,M,为极点；,MN,为极轴；,P,点极坐标为（,S, A),2024/11/19,8,Fundation of Geodesy,5、大地极坐标系2023/10/48Fundation of,4.2.2,坐标系之间的相互关系,子午平面坐标系同大地坐标系的关系,2024/11/19,9,Fundation of Geodesy,4.2.2 坐标系之间的相互关系2023/10/49Fun,令,:,pn=N,2024/11/19,10,Fundation of Geodesy,2023/10/410Fundation of Geod,空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系,2024/11/19,11,Fundation of Geodesy,空间直角坐标同子午面直角坐标系的关系 2023/10/41,空间直角坐标系同大地坐标系,在椭球面上,的点：,不在椭球面上,的点：,2024/11/19,12,Fundation of Geodesy,空间直角坐标系同大地坐标系 2023/10/412Funda,由空间直角坐标计算相应大地坐标,或,2024/11/19,13,Fundation of Geodesy,由空间直角坐标计算相应大地坐标2023/10/413Fund,B,、,u,、,之间的关系,B,和,u,之间的关系,2024/11/19,14,Fundation of Geodesy,B、u、 之间的关系 2023/10/414Fundati,U,、,之间的关系,、,之间的关系,大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当,B,=45,时,2024/11/19,15,Fundation of Geodesy,U、之间的关系2023/10/415Fundation o,4.3,椭球面上的几种曲率半径,过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫作,法截面,，法截面与椭球面的交线,叫,法截线,。,子午圈曲率半径,2024/11/19,16,Fundation of Geodesy,4.3 椭球面上的几种曲率半径 2023/10/416Fun,2024/11/19,17,Fundation of Geodesy,2023/10/417Fundation of Geodes,2024/11/19,18,Fundation of Geodesy,2023/10/418Fundation of Geodes,卯酉圈曲率半径,(,N,),卯酉圈:,过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。,麦尼尔定理:,假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦,。,2024/11/19,19,Fundation of Geodesy,卯酉圈曲率半径(N)2023/10/419Fundation,2024/11/19,20,Fundation of Geodesy,2023/10/420Fundation of Geodes,卯酉圈曲率半径的特点,:,卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位在椭球的旋转轴上。,2024/11/19,21,Fundation of Geodesy,卯酉圈曲率半径的特点:2023/10/421Fundatio,主曲率半径的计算,以上讨论的子午圈曲率半径,M,及卯酉圈曲率半径,N，,是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。,2024/11/19,22,Fundation of Geodesy,主曲率半径的计算2023/10/422Fundation o,2024/11/19,23,Fundation of Geodesy,2023/10/423Fundation of Geodes,2024/11/19,24,Fundation of Geodesy,2023/10/424Fundation of Geodes,2024/11/19,25,Fundation of Geodesy,2023/10/425Fundation of Geodes,任意法截弧的曲率半径,2024/11/19,26,Fundation of Geodesy,任意法截弧的曲率半径 2023/10/426Fundatio,任意法截弧的曲率半径的变化规律,:,不仅与点的纬度,B,有关，而且还与过该点的法截弧的方位角,A,有关。,当时，变为计算子午圈曲率半径的，即,；,当,90,时，为卯酉圈曲率半径，即,。主曲率半径,M,及,N,分别是,的极小值和极大值,。,当,A,由,0,90,时，,之值由，当,A,由,90,180,时，,值由,N,，可见,值的变化是以,90,为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。,2024/11/19,27,Fundation of Geodesy,任意法截弧的曲率半径的变化规律:2023/10/427F,平均曲率半径,椭球面上任意一点的平均曲率半径,R,等于该点子午圈曲率半径,M,和卯酉圈曲率半径,N,的几何平均值。,2024/11/19,28,Fundation of Geodesy,2023/10/428Fundation of Geodes,M,，,N,，,R,的关系,2024/11/19,29,Fundation of Geodesy,M，N，R的关系 2023/10/429Fundation,对于克拉索夫斯基椭球,2024/11/19,30,Fundation of Geodesy,对于克拉索夫斯基椭球2023/10/430Fundation,4.4,椭球面上的弧长计算,子午线弧长计算公式,2024/11/19,31,Fundation of Geodesy,4.4 椭球面上的弧长计算2023/10/431Fund,2024/11/19,32,Fundation of Geodesy,2023/10/432Fundation of Geodes,2024/11/19,33,Fundation of Geodesy,2023/10/433Fundation of Geodes,如果以,B90,代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为10 002 137,m。,旋转椭球的子午圈的整个弧长约为40 008 549.995,m。,即一象限子午线弧长约为10 000,km，,地球周长约为40 000,km。,为求子午线上两个纬度,B,及间的弧长，只需按,(11.42),式分别算出相应的,X,及,X,，,而后取差：,，该,即为所求的弧长。,当弧长甚短(例如,X40km，,计算精度到0.001,m)，,可视子午弧为圆弧，而圆的半径为该圆弧上平均纬度点的子午圈的曲率半径,M,2024/11/19,34,Fundation of Geodesy,如果以B90代入，则得子午椭圆在一个象限内的弧长约为10,由子午弧长求大地纬度,迭代解法:,平行圈弧长公式,2024/11/19,35,Fundation of Geodesy,由子午弧长求大地纬度2023/10/435Fundation,子午线弧长和平行圈弧长变化的比较,2024/11/19,36,Fundation of Geodesy,子午线弧长和平行圈弧长变化的比较2023/10/436Fun,4.5,大地线,两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么在椭球面上又是怎样的一条线呢? 它应是大地线。,相对法截线,2024/11/19,37,Fundation of Geodesy,4.5 大地线2023/10/437Fundation of,相对法截线,2024/11/19,38,Fundation of Geodesy,相对法截线 2023/10/438Fundation of,相对法截线的特点,:,当,A,，,B,两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。,在通常情况下，正反法截线是不重合的。因此在椭球面上,A,，,B,，,C,三个点处所测得的角度,(,各点上正法截线之夹角,),将不能构成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一的大地线代替相对法截线，从而得到由大地线构成的单一的三角形。,2024/11/19,39,Fundation of Geodesy,相对法截线的特点:2023/10/439Fundation,大地线的定义和性质,椭球面上两点间的最短,程曲线叫做,大地线,。,2024/11/19,40,Fundation of Geodesy,2023/10/440Fundation of Geodes,大地线的性质,:,大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角,在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。,长度差异可忽略,方向差异需改化。,2024/11/19,41,Fundation of Geodesy,大地线的性质:2023/10/441Fundati,补充内容,：,球面直角三角形的球面三角公式,任一元素的余弦等于不相邻两元素的正弦之积,2024/11/19,42,Fundation of Geodesy,补充内容：球面直角三角形的球面三角公式 2023/10/44,任一元素的余弦等于相邻两元素的余切之积,2024/11/19,43,Fundation of Geodesy,任一元素的余弦等于相邻两元素的余切之积2023/10/443,大地线的微分方程和克莱劳方程,2024/11/19,44,Fundation of Geodesy,大地线的微分方程和克莱劳方程 2023/10/444Fund,2024/11/19,45,Fundation of Geodesy,2023/10/445Fundation of Geodes,大地线的克莱劳方程,在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数,C,也叫大地线常数 ,2024/11/19,46,Fundation of Geodesy,大地线的克莱劳方程2023/10/446Fundation,当大地线穿越赤道时,当大地线达极小平行圈时,由克莱劳方程可以写出,2024/11/19,47,Fundation of Geodesy,当大地线穿越赤道时2023/10/447Fundation,4.6,将地面观测值归算至椭球面,观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。,归算的两条基本要求：,以椭球面的法线为基准；,将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素,。,将地面观测的水平方向归算至椭球面,将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为,三差改正,。,2024/11/19,48,Fundation of Geodesy,4.6 将地面观测值归算至椭球面 2023/10/448F,垂线偏差改正,以测站,A,为中心,作出单位半径的,辅助球,u,是垂线,偏差，它在子午,圈和卯酉圈上的,分量分别以,表示，,M,是地面观测目标,m,在球,面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是,(,R-R,1,),2024/11/19,49,Fundation of Geodesy,垂线偏差改正 2023/10/449Fundation of,标高差改正,2024/11/19,50,Fundation of Geodesy,标高差改正 2023/10/450Fundation of,截面差改正,2024/11/19,51,Fundation of Geodesy,截面差改正 2023/10/451Fundation of,将地面观测的长度归算至椭球面,基线尺量距的归算,将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面上的长度，以,表示，现要把它归算至参考椭球面上的大地线长度,S,。,1.,垂线偏差对长度归算的影响,2024/11/19,52,Fundation of Geodesy,将地面观测的长度归算至椭球面2023/10/452Fun,2.,高程对长度归算的影响,2024/11/19,53,Fundation of Geodesy,2.高程对长度归算的影响 2023/10/453Fundat,电磁波测距的归算,2024/11/19,54,Fundation of Geodesy,电磁波测距的归算 2023/10/454Fundation,2024/11/19,55,Fundation of Geodesy,2023/10/455Fundation of Geodes,作业一：,1,什么是岁差与章动？什么是极移？,2,什么是时圈 、黄道与春分点？什么是天球坐标系的基准点与基准面？,3,什么是惯性坐标系？什么协议天球坐标系 、瞬时平天球坐标系、 瞬时真天球坐标系？,4,试写出协议天球坐标系与瞬时平天球坐标系之间，瞬时平天球坐标系与瞬时真天球坐标系的转换数学关系式。,2024/11/19,56,Fundation of Geodesy,作业一：2023/10/456Fundation of Ge,作业二：,1,为什么要引入正常地球，讨论正常位与正常重力？目前一般实用的正常地球是什么形状？,2,什么是水准测量的理论闭合差？水准测量的观测高差一般要加入那些改正？,3,正常重力公式,是用来计算什么地方的正常重力,？,4.,为什么水准测量会产生多值性？,2024/11/19,57,Fundation of Geodesy,作业二： 2023/10/457Fundation of G,