*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,end,第三节 函数的连续性,第一章,第三节 函数的连续性第一章,1,问题的提出,(Introduction),0,T(时间）,温度C,4,14,24,一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性,问题的提出(Introduction)0T(时间）温度C,2,一、函数连续性的概念,1.函数的增量,一、函数连续性的概念1.函数的增量,3,2.函数连续的定义,2.函数连续的定义,4,函数的连续性ppt课件,5,例1,证,由定义2知,例1证由定义2知,6,3.单侧连续,定理,3.单侧连续定理,7,例2,解,右连续但不左连续,例2解右连续但不左连续,8,4.连续函数与连续区间,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线，称为,连续曲线,（continuous curve）.,在开区间 内每一点都连续的函数,叫做在开区间 内的,连续函数,或者说函数在该开区间内连续.,4.连续函数与连续区间连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,9,5.函数在一点连续必须满足什么条件？,5.函数在一点连续必须满足什么条件？,10,二、函数的间断点,二、函数的间断点,11,1.可去间断点,例3,1.可去间断点例3,12,解,注意,可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,为函数的可去间断点.,解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则,13,如例3中,如例3中,14,2.跳跃间断点,例4,解,2.跳跃间断点例4解,15,跳跃间断点与可去间断点统称为,第一类间断点,.,特点,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点,16,3.第二类间断点,例5,解,为函数的第二类间断点.,3.第二类间断点例5解为函数的第二类间断点.,17,例6,解,这种情况称为振荡间断点.,例6解这种情况称为振荡间断点.,18,小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:,可去型,跳跃型.,第二类间断点:,无穷型,振荡型,等,.,间断点,(见下图),小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与,19,可去型,第一类间断点,y,o,x,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,o,y,x,y,o,x,y,o,x,可去型第一类间断点yox跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx,20,三、连续函数的运算与初等函数的连续性,三、连续函数的运算与初等函数的连续性,21,1.,连续函数的和、差、积、商的四则运算的连续性,性质1,例如,1.连续函数的和、差、积、商的四则运算的连续性性质1例如,22,2.反函数与复合函数的连续性,性质2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,2.反函数与复合函数的连续性性质2 严格单调的连续函数必,23,性质3,注：,极限符号可以与函数符号互换;,例7,解,性质3注：极限符号可以与函数符号互换;例7解,24,3.初等函数的连续性,结论1 一切基本初等函数在定义域内是连续的.,3.初等函数的连续性结论1 一切基本初等函数在定义域内是连,25,定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包,26,例8,例9,解,解,例8例9解解,27,四、闭区间上连续函数性质,1.最值定理,定理1.9 闭区间上连续函数一定有最大值、最小值.,a,b,四、闭区间上连续函数性质1.最值定理定理1.9 闭区间,28,2.介值定理,定理1.10 设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点处取不同的函数值，即 及,(),那么，对于 与 之间的任意一个,数 ，在开区间 内至少有一点 ，使得,2.介值定理定理1.10 设函数 在闭区,29,该定理的几何意义：,连续曲线弧 与水平直线 至少相交于一点。,该定理的几何意义：连续曲线弧 与水,30,推论 零点定理,（根的存在性定理）,设函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即 ），那么在开区间 内，至少存在一点 （），使 .,推论 零点定理（根的存在性定理）设函数 在闭,31,该定理表明连续曲线弧 的两个端点位于 轴的不同侧，则曲线与 轴至少有一个交点，即方程 在 内至少有一个实根.,该定理表明连续曲线弧 的两个端点位,32,例10,证明,：,证,：,由零点定理知，存在 ,使,在 内至少有一个根。,令,在 上连续,即,在 内至少有一个根。,例10证明：证：由零点定理知，存在,33,内容小节：,1.函数在一点连续的定义,2.间断点,类型,：,第一类,第二类,可去型,跳跃型,无穷,振荡,3.运算法则,4.初等函数的连续性,5.闭区间上连续函数的性质,内容小节：1.函数在一点连续的定义2.间断点类型：第一类,34,积化和差公式,积化和差公式,35,和差化积公式,和差化积公式,36,