,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,某企业在制定某商品的广告策略时，采取了以下几种促销形式，广播、宣传品、电视，这几种广告形式对该商品的销售有影响吗？,什么是方差分析,(ANOVA)?,(analysis of variance),检验多个总体均值是否相等,通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等,研究分类型自变量对数值型因变量的影响,一个或多个分类型自变量,两个或多个,(,k,个,),处理水平或分类,一个数值型因变量,有单因素方差分析和双因素方差分析,单因素方差分析：涉及一个分类的自变量,双因素方差分析：涉及两个分类的自变量,什么是方差分析,?,(,例题分析,),消费者对四个行业的投诉次数,行业,观测值,零售业,旅游业,航空公司,家电制造业,1,2,3,4,5,6,7,57,66,49,40,34,53,44,68,39,29,45,56,51,31,49,21,34,40,44,51,65,77,58,【,例,】,为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在,4,个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共,23,家企业投诉的次数如下表,什么是方差分析,?,(,例题分析,),分析,4,个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响,作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等,若它们的均值相等，则意味着“行业”对投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；若均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异,方差分析中的有关术语,因素或因子,(factor),所要检验的对象,分析行业对投诉次数的影响，,行业,是要检验的因子,水平或处理,(,treatment),因子的不同表现,零售业、旅游业、航空公司、家电制造业,观察值,在每个因素水平下得到的样本数据,每个行业被投诉的次数,方差分析中的有关术语,试验,这里只涉及一个因素，因此称为单因素,4,水平的试验,总体,因素的每一个水平可以看作是一个总体,零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是,4,个总体,样本数据,被投诉次数可以看作是从这,4,个总体中抽取的样本数据,方差分析的基本思想和原理,方差分析的基本思想和原理,(,图形分析,散点图,),零售业 旅游业 航空公司 家电制造,从,散点图上可以看出,不同行业被投诉的次数有明显差异,同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同,家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低,行,业与被投诉次数之间有一定的关系,如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近,方差分析的基本思想和原理,(,图形分析,),散点图观察不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异,这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的,需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析,所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差,这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源,方差分析的基本思想和原理,方差分析的基本思想和原理,(,两类误差,),随机误差,因素的同一水平,(,总体,),下，样本各观察值之间的差异,比如，同一行业下不同企业被投诉次数之间的差异,这种差异可以看成是随机因素的影响，称为,随机误差,系统误差,因素的不同水平,(,不同总体,),之间观察值的差异,比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异,这种差异,可能,是由于抽样的随机性所造成的，,也可能,是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为,系统误差,方差分析的基本思想和原理,(,误差平方和,SS),数据的误差用平方和,(,sum of squares,),表示,组内平方和,(,within groups,),因素的同一水平下数据误差的平方和,比如，零售业被投诉次数的误差平方和,只包含,随机误差,组间平方和,(,between groups,),因素的不同水平之间数据误差的平方和,比如，,4,个行业被投诉次数之间的误差平方和,既包括,随机误差,，也包括,系统误差,方差分析的基本思想和原理,(,均方,MS),平方和除以相应的自由度,若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就应该很接近，它们的比值就会接近,1,若原假设不成立，组间均方会大于组内均方，它们之间的比值就会大于,1,当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，即自变量对因变量有影响,判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响,方差分析的基本假定,方差分析的基本假定,每个,总体都应服从正态分布,对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本,比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态分布,各个,总体的方差必须相同,各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的,比如，,4,个行业被投诉次数的方差都相等,观,察值是独立的,比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立,方差分析中的基本假定,在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的,4,个正态总体的均值是否相等,如果,4,个总体的均值相等，可以期望,4,个样本的均值也会很接近,4,个样本的均值越接近，推断,4,个总体均值相等的证据也就越充分,样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分,方差分析中基本假定,如果原假设成立，即,H,0,：,m,1,=,m,2,=,m,3,=,m,4,4,个行业被投诉次数的均值都相等,意味着,每个样本都来自均值为,、方差为,2,的同一正态总体,X,f(X),1,2,3,4,方差分析中基本假定,若备择假设成立，即,H,1,：,m,i,(,i,=1,2,3,4,),不全相等,至少有一个总体的均值是不同的,4,个样本分别来自均值不同的,4,个正态总体,X,f(X),3,1,2,4,问题的一般提法,问题的一般提法,设因素有,k,个水平，每个水平的均值分别用,1,2,k,表示,要检验,k,个水平,(,总体,),的均值是否相等，需要提出如下假设：,H,0,：,1,2,k,H,1,：,1,2,，,k,不全相等,设,1,为零售业被投诉次数的均值，,2,为旅游业被投诉次数的均值，,3,为航空公司被投诉次数的均值，,4,为家电制造业,被投诉次数的均值,，,提出的假设为,H,0,：,1,2,3,4,H,1,：,1,2,3,4,不全相等,8.2,单因素方差分析,8.2.1,数据结构,8.2.2,分析步骤,80.2.3,关系强度的测量,8.2.4,方差分析中的多重比较,单因素方差分析的数据结构,(one-way analysis of variance),观察值,(,j,),因素,(,A,),i,水平,A,1,水平,A,2,水平,A,k,1,2,:,:,n,x,11,x,21,x,k,1,x,12,x,22,x,k,2,:,:,:,:,:,:,x,1,n,x,2,n,x,kn,分析步骤,提出假设,构造检验统计量,统计决策,提出假设,一,般提法,H,0,：,m,1,=,m,2,=,=,m,k,自变量对因变量没有显著影响,H,1,：,m,1,，,m,2,，,，,m,k,不全相等,自变量对因变量有显著影响,注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等,构造检验的统计量,构造统计量需要计算,F=SSA/(k-1)/SSE/(n-K)=MSA/MSE,构造检验的统计量,(,计算总误差平方和,SST,),全,部观察值 与总平均值 的离差平方和,反映全部观察值的离散状况,其计算公式为,前例的计算结果,SST,=(57-47.869565),2,+,+,(58-47.869565),2,=115.9295,构造检验的统计量,(,计算组间平方和,SSA,),各组平均值 与总平均值 的离差平方和,反映各总体的样本均值之间的差异程度,该平方和既包括随机误差，也包括系统误差,计算公式为,前例的计算结果,SSA,=1456.608696,构造检验的统计量,(,计算组内平方和,SSE),每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和,反映每个样本各观察值的离散状况,该平方和反映的是随机误差的大小,计算公式为,前例的计算结果,SSE,=2708,构造检验的统计量,(,三个平方和的关系,),总离差平方和,(,SST,),、误差项离差平方和,(,SSE,),、水平项离差平方和,(,SSA,),之间的关系,SST,=,SSA,+,SSE,前例的计算结果,4164.608696=1456.608696+2708,构造检验的统计量,(,计算均方,MS,),各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是,均方,，也称为方差,由误差平方和除以相应的自由度求得,三个平方和对应的自由度分别是,SST,的,自由度为,n,-1,，其中,n,为全部观察值的个数,SSA,的,自由度为,k,-1,，其中,k,为因素,水平,(,总体,),的,个数,SSE,的,自由度为,n,-,k,构造检验的统计量,(,计算均方,MS,),组间方差：,SSA,的均方，记为,MSA,，计算公式为,组内方差：,SSE,的均方，记为,MSE,，计算公式为,构造检验的统计量,(,计算检验统计量,F,),将,MSA,和,MSE,进行对比，即得到所需要的检验统计量,F,当,H,0,为真时，二者的比值服从分子自由度为,k,-1,、分母自由度为,n,-,k,的,F,分布，即,构造检验的统计量,(,F,分布与拒绝域,),如果均值相等，,F,=,MSA,/,MSE,1,a,F,分布,F,(,k,-1,n,-,k,),0,拒绝,H,0,不能拒绝,H,0,F,统计决策,将统计量的值,F,与给定的显著性水平,的临界值,F,进行比较，作出对原假设,H,0,的决策,根据给定的显著性水平,，在,F,分布表中查找与第一自由度,df,1,k,-1,、第二自由度,df,2,=,n,-,k,相应的临界值,F,若,F,F,，则拒绝原假设,H,0,，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响,若,FF,，则不拒绝原假设,H,0,，无证据表明所检验的因素对观察值有显著影响,单因素方差分析表,(,基本结构,),误差来源,平方和,(SS),自由度,(df),均方,(MS),F,值,P,值,F,临界值,组间,(,因素影响,),SSA,k-,1,MSA,MSA,MSE,组内,(,误差,),SSE,n-k,MSE,总和,SST,n-,1,操作步骤：,分析,比较均值,单因素方差分析,选择观察变量到因变量变量框,选择控制变量到因素框中，控制变量有几个不同的取值就表示控制变量的几个水平,单因素方差分析的进一步分析,一、方差齐性检验,方差齐性检验是对控制变量不同水平下各观测变量总体方差是否相等进行分析。,二、多重比较检验,单因素方差分析的基本分析只能判断控制变量是否对观测变量产生了显著的影响。如果控制变量确实对观测变量产生了显著影响，进一步还应该确定控制变量的不同水平对观测变量的影响程度如何，其中哪个水平的作用显著的不同于别的水平。,1、LSD方法称为最小显著性差异,2、Bonferron,3、Tukey,4、Scheffe,1,、入户推销有五种方法。某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验。从尚无推销经验的应聘人员中随机挑选一部分，并随机将他们分为五组，每一组用一种推销方法培训，一段时期后得到他们在一个月内的推销额，如下表,第一组,20,16.8,17.