,第一讲不等式和绝对值不等式,一不等式,1.不等式的基本性质,第一讲不等式和绝对值不等式,【自主预习】,1.两个实数a,b的大小关系,a-b0,a-b=0,a-b0 a-b=0 a-bb_.,(2)传递性:ab,bc_.,(3)可加性:_a+cb+c.,bc,ab,2.不等式的基本性质bcab,(4)可乘性:如果ab,c0,那么_;,如果ab,cb0,那么a,n,_b,n,(nN,n2).,(6)开方:如果ab0,那么 _ (nN,n2).,acbc,ac,(4)可乘性:如果ab,c0,那么_;acb,【即时小测】,1.若ab0,则下列结论不正确的是(),A.a,2,b,2,B.aba,2,【,解析】,选A.因为ab0,所以0-b2x(xR).,(2)a,5,+b,5,a,3,b,2,+a,2,b,3,(a,bR).,(3)a,2,+b,2,2(a-b-1).其中正确的个数(),A.0B.1C.2D.3,2.下列不等式:,【解析】,选C.因为x,2,+3-2x=(x-1),2,+20,所以(1)正确;a,5,+b,5,-(a,3,b,2,+a,2,b,3,)=(a,2,-b,2,)(a,3,-b,3,),=(a-b),2,(a+b)(a,2,-ab+b,2,)正负不确定,所以(2)不正确;a,2,+b,2,-2(a-b-1)=(a-1),2,+(b+1),2,0.,所以(3)正确.,【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+20,【知识探究】,探究点,不等式的基本性质,1.若ab,cd,那么a-cb-d吗?,提示,:,不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可减性.,如21,51,但2-51-1不成立.,【知识探究】,2.若ab,cd,一定有acbd吗?,提示,:,不一定,如,a=-1,b=-2,c=-2,d=-3,时就不成立,.,2.若ab,cd,一定有acbd吗?,【归纳总结】,1.符号“”和“”的含义,“”与“”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不同性质的条件.,【归纳总结】,2.性质(3)的作用,它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a+bcac-b.性质(3)是可逆的,即aba+cb+c.,2.性质(3)的作用,3.不等式的单向性和双向性,性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的.,3.不等式的单向性和双向性,4.注意不等式成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的正负,乘方、开方性质中的“正数”及“nN,且n2”都需要注意.,4.注意不等式成立的前提条件,类型一,作差法比较大小,【典例】,设mn,x=m,4,-m,3,n,y=n,3,m-n,4,比较x与y的大小.,【解题探究】,比较两个多项式的大小常用的方法是什么?,提示,:,常用作差比较法,.,类型一作差法比较大小,【解析】,因为x-y=(m,4,-m,3,n)-(mn,3,-n,4,),=(m-n)m,3,-n,3,(m-n),=(m-n)(m,3,-n,3,),=(m-n),2,(m,2,+mn+n,2,),【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4),又mn,所以(m-n),2,0,因为,所以x-y0,故xy.,又mn,所以(m-n)20,【方法技巧】,作差比较法的四个步骤,【方法技巧】作差比较法的四个步骤,【变式训练】,1.若f(x)=3x,2,-x+1,g(x)=2x,2,+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是_.,【变式训练】,【解析】,f(x)-g(x)=3x,2,-x+1-(2x,2,+x-1),=x,2,-2x+2=(x-1),2,+110,所以f(x)g(x).,答案:,f(x)g(x),【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1,2.若x,y均为正实数,判断x,3,+y,3,与x,2,y+xy,2,的大小关系.,【解析】,x,3,+y,3,-x,2,y-xy,2,=x,2,(x-y)-y,2,(x-y),=(x,2,-y,2,)(x-y)=(x-y),2,(x+y),2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小,因为x0,y0,所以(x-y),2,(x+y)0,所以x,3,+y,3,x,2,y+xy,2,.,因为x0,y0,类型二,不等式性质的简单应用,【典例】,判断下列命题是否正确,并说明理由.,(1)ab0,则,(2)cab0,则,(3)若 ,则adbc.,(4)设a,b为正实数,若a-b-,则ab0,所以ab两边同乘以,得 得 ,故正确.,(2)因为c-a0,c-b0,且c-a0,又ab0,所以 ,正确.,【解析】(1)因为ab0,所以ab两边同乘以,(3)由 ,所以 0,即adbc且cd0或adbc且cd0,(4)因为a-0,b0,所以a,2,b-bab,2,-aa,2,b-ab,2,-b+a0,ab(a-b)+(a-b)0(a-b)(ab+1)0,所以a-b0,即a0,【方法技巧】,1.利用不等式的性质判断命题真假的技巧,(1)要判断一个命题为真命题,必须严格证明.,(2)要判断一个命题为假命题,或者举反例,或者由题中条件推出与结论相反的结果.其中,举反例在解选择题时用处很大.,【方法技巧】,2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项,(1)倒数法则要求两数同号.,(2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数的正负而定.,(3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.,2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项,【变式训练】,1.下列命题中正确的是_,.,若ab0,cd0,那么,若a,bR,则a,2,+b,2,+52(2a-b).,【变式训练】1.下列命题中正确的是_.,【解析】,因为ab0,cd0,所以 0,故 错误.,a,2,+b,2,+5-2(2a-b),=a,2,+b,2,+5-4a+2b=(a-2),2,+(b+1),2,0,所以正确.,答案:,【解析】因为ab0,cd0,2.若ab0,分别判断下列式子是否成立,并简述理由.,2.若ab0,分别判断下列式子是否成立,并简述理由.,【解析】,(1)成立.由ab0得aa-b0,所以,则,(2)成立.因为ab0,所以a+bb0,则,所以,【解析】(1)成立.由ab0得aa-bb0,cd0,又ab0,所以a-cb-d0,所以0 ,再由0b0,【延伸探究】,1.(改变问法)本题条件不变,证明:,【延伸探究】,【证明】,因为c-d0,所以 又ab0,所以,所以,同乘以-1得,【证明】因为c-d0,2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“e0,又ab0,所以a-cb-d0,所以(a-c),2,(b-d),2,0,所以 又e0,所以,2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“eb0,cd0.求证:,【证明】,因为ab0,所以0d0,所以00,b0,c0,d0,且 ,求证:,【证明】,因为a0,b0,c0,d0且 ,所以adbc,所以ad+cdbc+cd,即d(a+c)c(b+d),所以,2.已知a0,b0,c0,d0,且 ,求证:,自我纠错,作差法比较大小,【典例】,设a+b0,n为偶数,的大小关系为,_.,自我纠错作差法比较大小,【失误案例】,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.,提示,:,n,为偶数时,a,n,-b,n,和,a,n-1,-b,n-1,不一定同号,这里忽略了在题设条件,a+b0,且没有明确字母的具体值的情况下,要考虑分类讨论,即对,a0,b0,和,a,b,有一个负值的情况加以讨论,.,正确解答过程如下,:,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.,【解析】,(1)当a0,b0时,(a,n,-b,n,)(a,n-1,-b,n-1,)0,(ab),n,0,【解析】,(2)当a,b有一个为负数时,不妨设a0,b0,所以a|b|.又n为偶数,所以(a,n,-b,n,),(a,n-1,-b,n-1,)0,且(ab),n,0,(2)当a,b有一个为负数时,不妨设a0,b0,且a+b,故,即,综合(1)(2)可知,答案:,故,不等式的基本性质课件,