*,非线性方程求根,特征值问题及应用,动物养殖问题,第四章 线性代数,例,1,求解,3,次方程,x,3,+1=0,。,求多项式根(零点)方法,:,R=roots(P),其中,P=,a,1,a,2,a,n+,1,表示,n,次多项式系数,P,(,x,)=,a,1,x,n,+a,2,x,n-,1,+,a,n,x+a,n+,1,.,t=linspace(0,2*pi,40);,x=cos(t);y=sin(t);,plot(x,y),hold on,P=1,0,0,1;R=roots(P),X=real(R);Y=imag(R);,plot(X,Y,ro),R=-1.0000,0.5000+0.8660i,0.5000-0.8660i,相关命令：,poly,polyval,fzero,P=poly(1:3),1 -6 11 -6,R=roots(P),3.0000 2.0000 1.0000,著名的,Wilkinson,实验,roots(poly(1:20)roots(poly(1:21),ans=,19.9997,19.0032,17.9857,17.0360,15.9319,15.0842,ans=,20.9991,20.0092,18.9489,18.1347,16.5572+0.2460i,16.5572-0.2460i,多项式求根方法,p=1-30 0 2552;roots(p),ans=26.3146,11.8615,-8.1761,r,x,例,2,球体的吃水深度.计算半径,r,=10 cm,的球体,密度,=0.638.,浸入水深度,x,=?,解,：,重量,体积,x,3,30,x,2,+2552=0,求函数零点方法,fun=inline(x.3-30*x.2+2552);,x=fzero(,fun,10),x=11.8615,例,3,还贷问题。从银行贷款,100,万元建生产流水线，一年后建成投产。投产后流水线每年创造利润,30,万元，银行的年利率,p,=10%,，,计算多少年后公司可以盈利？,问题分析,：,设第,x,年公司还清贷款,，,利率计算应还债款为：,而建成后的流水线在这段时间创造价值,：,function k,pay=debt(d),if nargin=0,d=30;end,S=100;p=0.1;,S=S*(1+p);pay=S;k=1;,while S0,k=k+1;S=S*(1+p);,S=S-d;,pay=pay,S;,end,调用 debt,K=6,第六年盈利 5.9969 万,fun=inline(100*1.1.x-300*(1.1.(x-1)-1);,fzero(fun,5),ans=5.7923,pay=,110.91.70.1 47.11 21.821 -5.9969,MATLAB解算特征值问题方法,lamda=eig(A),计算A的特征值,这里lamda是A的全部特征值构成的列向量。,P,D=eig(A),计算出A的全部特征值和对应的特征向量.其中,D是对角矩阵,保存矩阵A的全部特征值;P是满阵,P的列向量构成对应于D的特征向量组。,矩阵特征值问题,A,是n阶方阵,求非零向量 和数 使得,称 为特征向量,称 为特征值.,例,4,出租汽车问题,。,出租汽车公司在仅有,A,城和,B,城的海岛上,设了,A,B两,营业部。如果周一,A,城有,120,辆可出租汽车，而,B,城有,150,辆。统计数据表明，平均每天,A,城营业部汽车的,10%,被顾客租用开到,B,城,B,城营业部汽车的,12%被,开到了,A,城。假设所有汽车正常，试计算一周后两城的汽车数量。寻找方案使每天汽车正常流动而,A,城和,B,城的汽车数量不增不减。,设第,n,天,A,城营业部汽车数为,x,1,(,n,),，,B,城营业部汽车数为,x,2,(,n,),。,则有,营业部汽车总数量,：,120+150=270,X=120;150;,A=0.9,0.12;0.1,0.88;,Cars=X;,for k=1:6,X=A*X;Cars=Cars,X;,end,Cars,figure(1),bar(Cars(1,:),figure(2),bar(Cars(2,:),120.126.130.68 134.33 137.17 139.39 141.13,150.144.139.32 135.66 132.82 130.60 128.86,营业部汽车总数量,：,120+150=270,矩阵,X=147;123;,A=0.9,0.12;0.1,0.88;,Cars=X;,for k=1:6,X=A*X;,Cars=Cars,X;,end,figure(1),bar(Cars(1,:),figure(2),bar(Cars(2,:),=147+123,营业部汽车总数量,：,120+150=270,矩阵,Cars=X;,for k=1:6,X=A*X;,Cars=Cars,X;,end,figure(1),bar(Cars(1,:),figure(2),bar(Cars(2,:),=147+123,L=0,.9,0.12,;0.,1,0,.88,;,P,lamda=eig(L),p1=P(:,1);d=sum(p1);,p=p1/d,X0=p*,270,非线性,方程组求解,解法,1.,u v=solve(u3+v3=98,u+v=2,u,v),解法2,.x=fsolve(fun,x0),x=fsolve(fun,x0,options),x=fsolve(fun,x0,options,P1,P2,.),x,fval=fsolve(.),x,fval,exitflag=fsolve(.),x,fval,exitflag,output=fsolve(.),x,fval,exitflag,output,jacobian=fsolve(.),4,.,动,例5 非线性方程求根,function rhs=nonlinfx1(X),rhs(1)=X(1).2-10*X(1)+X(2).2+X(3)+7;,rhs(2)=X(1).*X(2).2-2*X(3);,rhs(3)=X(1).2+X(2).2-3*X(2)+X(3).2;,（1）,fsolve(nonlinfx1,1,1,1),（2）,x=fsolve(nonlinfx1,1,1,1,optimset(Display,iter),思考题与练习题,1.,行星轨道的二次曲线方程中，二次项系数满足什么条件时，能保证二次曲线方程是椭圆方程,？,2.设非零正数,p1,q1,.证明矩阵,有特征值 ,对应的特征向量,3,.,何为矩阵的主特征值,？,4,.,非线性方程有何解法，区别如何,？,