单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、收敛半径与,敛散性,.,第四、五章 级数与留数,二、解析函数的泰勒展开,三、洛朗展式,四、判别奇点类型,五、求各奇点处留数,六、用留数定理计算沿封闭曲线的积分,1,一、收敛半径与敛散性.第四、五章 级数与留数二、解析函数的,复数项级数,函数项级数,充,要,条,件,必,要,条,件,幂级数,收敛半径,R,复 变 函 数,绝,对,收,敛,运算与性质,收敛条件,条,件,收,敛,复数列,收敛半径的计算,泰勒级数,洛朗级数,2,复数项级数函数项级数充必幂级数收敛半径R复 变 函 数,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与,极点的关系,留数定理,围线积分,3,留数计算方法可去奇点孤立奇点极点本性奇点函数的零点与留数定理,一、收敛半径与,敛散性,.,解,收敛,收敛,例1,判别级数 的敛散性,.,1.敛散性,（转化为实数列、级数的判别）,4,一、收敛半径与敛散性.解收敛收敛例1 判别级数,解,由正项级数的比值判别法知,绝对收敛.,例2,判别级数的敛散性,.,5,解 由正项级数的比值判别法知绝对收敛.例2 判别级数,例3,判别级数的敛散性,.,解,而,6,例3 判别级数的敛散性.解而6,均为收敛的交错级数，,所以,收敛.,但是,发散.,所以原级数条件收敛.,7,均为收敛的交错级数，所以收敛.但是发散.所以原级数条件收敛.,2设函数,的泰勒展开式为,，,（B）,（C）,（D）,的收敛半径,(),那么幂级数,（A）,1设幂级数,与,的收敛半径,分别为,和,，那么,与,之间的关系是,1,R,2.收敛半径,R,2,R,1,C,练习,(比值、根值、简便方法,：|,z,-,|,),8,2设函数的泰勒展开式为，（B）（C）（D）的收敛半径(,若,则双边幂级数,的收敛域为(),（B）,（A）,（C）,（D）,例4,A,9,若则双边幂级数的收敛域为()（B）（A）（C）,设函数,圆环内的洛朗展开式有,m,个，,那么,m,=(),（A）1,在以原点为中心,的,（B）2,（D）4,（C）3,例5,C,10,设函数圆环内的洛朗展开式有 m个，那么m=(,常见函数的泰勒展开式,二、解析函数的泰勒展开,11,常见函数的泰勒展开式二、解析函数的泰勒展开11,解,例6,求 在 的泰勒展式.,由于,12,解例6 求,例7,分析：,利用逐项求导、逐项积分法.,解,所以,13,例7分析：利用逐项求导、逐项积分法.解所以13,例8,分析,:,利用部分分式与几何级数结合法.即把函数,分成部分分式后,应用等比级数求和公式,.,解,14,例8分析:利用部分分式与几何级数结合法.即把函数解1,故,两端求导得,15,故两端求导得15,16,16,例9,解,三、洛朗展式,(1.利用已知函数展开式；,2.分式：注意|,g,(,z,)|是否小于1),17,例9解三、洛朗展式(1.利用已知函数展开式；17,例10,解,有,18,例10解有18,19,19,作业：,在,z,=2 处展开？,20,作业：在 z=2 处展开？20,解,四、判别奇点类型,21,解四、判别奇点类型21,解,22,解22,23,23,例12,求函数 的有限奇点,并,确定类型.,解,是奇点.,是二级极点;,是三级极点.,24,例12 求函数,设,为函数,的,级极点，那么,(),(A)可去奇点 （B）一级极点,(C)一级零点 （D）本性奇点,(A)可去奇点 （B）一级极点,(C)二级极点 （D）本性奇点,（A）5 （B）4 (C)3 （D）2,练习,1.,是函数,的(),2.,是函数,的(),3.,C,D,B,25,设为函数的级极点，那么()(A)可去奇点,五、求各奇点处留数,留数的计算方法,(1)如果,为,的可去奇点,定理,成洛朗级数求,(2)如果,为,的本性奇点,(3)如果,为,的极点,则有如下计算规则,展开,则需将,如果 为 的 级极点,那末,26,五、求各奇点处留数留数的计算方法(1)如果为的可去奇点,推论1,推论2,如果,设,及,在,都解析，,那末,为,的一级极点,且有,如果 为 的一级极点,那末,27,推论1推论2 如果设及在都解析，那末为的一级极点,且有如果,例13,求下列各函数在有限奇点处的留数.,解,(1)在 内,28,例13 求下列各函数在有限奇点处的留数.解(1)在,解,29,解29,解,为奇点,当 时 为一级极点，,30,解为奇点,当 时 为一级极点,31,31,例14,计算积分,为一级极点，为七级极点.,解,六、用留数定理计算沿封闭曲线的积分,32,例14 计算积分,由留数定理得,33,由留数定理得33,例15,解,在 内,34,例15 解在 内,35,35,