4.1,矩阵的特征值与特征向量,矩阵的特征值,特征值与特征向量的性质,第四章 矩阵的特征值,说明,一、矩阵的特征值,说明,说明,求,矩阵,A,的特征值及特征向量,问题就转化为求解,多项式方程以及齐次线性方程组的通解,问题,.,解,例,例,设,求,A,的特征值与特征向量,解,得基础解系为,例,证明：若 是矩阵,A,的特征值，是,A,的属于,的特征向量，则,证明,再继续施行上述步骤 次，就得,例,证明：若 是矩阵,A,的特征值，是,A,的属于,的特征向量，则,证明,例,设矩阵,A,为,对合矩阵,(,即,A,2,=,I,),且,A,的特征值都是,1,证明,:,A=I,.,由于,A,的特征值都是,1,这说明,-1,不是,A,的特征值,即,|,A,+,I,|,0.,因而,I+A,可逆,.,(,I+A,),-1,即可得,A=I,.,在,(,I+A,)(,I-A,)=0,两端左乘,由,A,2,=,I,可得,(,I+A,)(,I-A,)=0,证明,例,试证,证：,必要性,如果,A,是奇异矩阵，则,|,A,|,0,。,于是,即,0,是,A,的一个特征值,充分性：,设,A,有一个特征值为,0,，对应的特征向量为,x.,由,特征值的定义有：,齐次线性方程组有非零解，由此可知,|,A,|,0,，即,A,为奇异矩阵,.,亦可叙述为,：,证明,即,A,与其转置矩阵具有相同的特征多项式，因此必有相同的特征值,.,二、特征值与特征向量的性质,证明,:,则,类推之，有,定理,3,：,把上列各式合写成矩阵形式，得,注意,.,属于不同特征值的特征向量是线性无关的,.,属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,.,矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征,值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；,一个特征向量不能属于不同的特征值,说明,.,在复数范围内，,n,阶方阵,A,一定有,n,个特征根，其中可能有重根和复根,.,.,定理,4,表明，全部特征根的和与,A,的主对角线元素的和相等；全部特征根的乘积等于,|,A,|.,当,det,A,=0,时,A,至少有一个零特征值,.,3.,当,det,A,0,时,A,的特征值全为非零数,