,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,4,章,指数函数和对数函数,Exponential Function and,Logarithmic Function,4.5,反函数的概念,温故知新,课前思考,新课讲解,课堂练习,第 4 章指数函数和对数函数Exponential Func,引例,：商店买铅笔，单价,2,元,/,支，,购买 支，总价为 元，是正偶数,.,考察总价与数量的关系：,若由数量求总价：,若由总价求数量：,思考,：函数 的因变量 与自变量,的对应关系逆过来，能否构成函数？,函数 的因变量 与自变量,的对应关系逆过来，能否构成函数？,引例：商店买铅笔，单价2元/支，购买 支，,一、反函数的概念,一般地，对于函数,若对于 中任意一个值 ，都有 中,唯一,的,使得,，那么在 上就确定了,的,反函数,，记作,例,的反函数就是,正偶数集,函数,与函数,互为反函数,！,一、反函数的概念一般地，对于函数若对于 中任意一个值,例,1.,判断下列函数是否存在反函数,.,(1),(2),(3),(4),存在,不存在,存在,不存在,例1.判断下列函数是否存在反函数.(1)(2)(3)(4)存,二、一个函数存在反函数的判定,记,(1),对于任意 ，若,则,(,或其逆否命题,),若 ，则,(2),函数 是单调函数,.(,充分非必要条件,),(3),函数 的图像符合“,水平线检验法,”,(4),由 解得的 也是一个函数,.,上述所有方法都可说明函数 存在,反函数，即 是“,一对一,”的,.,二、一个函数存在反函数的判定记(1)对于任意,三、求一个函数的反函数,例,求函数 的反函数,.,解：的值域为,求 得,所以反函数为,为了在同一坐标系内作出一个函数,表示，因变量用 表示,.,因此，反函数改写为,与其反函数的图像，习惯上自变量用,三、求一个函数的反函数例 求函数,表达式：,定义域：,值域：,-1,+,),0,+,),原函数：,反函数：,-1,+,),0,+,),例：,求函数 的反函数,.,解,:,因此反函数为,解得：,表达式：定义域：值域：-1,+)0,+)原函数：反函,例,2.,求下列函数的反函数,.,(1),(2),(3),(4),解,:(1),因此反函数为,(2),解得：,解得：,因此反函数为,例2.求下列函数的反函数.(1)(2)(3)(4)解:(1,例,2.,求下列函数的反函数,.,(3),(4),解,:(3),因此反函数为,(4),解得：,解得：,因此反函数为,例2.求下列函数的反函数.(3)(4)解:(3)因此反函数,反函数的概念小结,存在反函数的,是,一一对应,的,与,函数 与函数,互为反函数,.,充要条件是：,求 的反函数的一般步骤为：,求值域,(,即反函数的定义域,),求函数 的逆运算,改写为反函数,(1),(2),(3),对应法则互逆，定义域、值域互反,.,反函数的概念小结存在反函数的是一一对应的与函数,例,1.,求函数 的反函数，并在同一坐标系中,画出它们的图像,.,解：,的值域为,的反函数是,思考 所作函数的图像与其反函数的图像,有什么有怎样的位置关系？,例1.求函数 的反函数，并在同,四、互为反函数的函数图像间的关系,定理,函数 和它的反函数 的图像,关于直线 对称,.,证：设 是 的图像上,任意一点,.,因此,是 的反函数,因此,即 在反函数 图像上,.,四、互为反函数的函数图像间的关系定理 函数 和,例,2.,已知 ，求,解：,因此,解法二：设,因此,即点 在 图像上,即点 在 图像上,解得,例2.已知,例,3.,求证：函数 的图像关于直线,对称,.,分析,：由于,存在反函数，且,因此，即证,证：,因此 的图像关于直线 对称,.,与 的图像关于 对称，,例3.求证：函数 的,定理,单调函数的反函数也是单调函数,且两个函数具有相同的单调性,.,五、单调函数的反函数的单调性,定理 单调函数的反函数也是单调函数且两个函数具有相同的单调性,课堂练习,P15/4.5,1,、,2,、,3,、,4,、,5,、,6,课堂练习P15/4.5,