,-,#,-,2.6.1,双曲线的标准方程,课前篇自主预习,课堂篇探究学习,2,.,6,.,1,双曲线的标准方程,2.6.1双曲线的标准方程,核心素养,1,.,结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程,.,(,逻辑推理、数学抽象,),2,.,掌握双曲线的标准方程及其求法,.,(,数学运算,),3,.,会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题,.,(,数学运算,),4,.,与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分,.,(,逻辑推理,),思维脉络,核心素养 1.结合实际情景熟悉双曲线的定义、几何图形和标准方,激趣诱思,知识点拨,如图,所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点,F,1,F,2,上,把笔尖放在点,M,处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点就画出一条曲线,这就是双曲线的一支,.,把两个固定点的位置交换,如图,所示,类似可以画出双曲线的另一支,.,这两条曲线合起来叫做双曲线,.,双曲线上的点到两定点,F,1,F,2,的距离有何特点,?,激趣诱思知识点拨如图所示,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉,激趣诱思,知识点拨,1,.,双曲线的定义,激趣诱思知识点拨1.双曲线的定义,激趣诱思,知识点拨,名师点析,若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点,P,的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于,|PF,1,|,与,|PF,2,|,的大小,.,(1),若,|PF,1,|PF,2,|,则,|PF,1,|-|PF,2,|,0,点,P,的轨迹是靠近定点,F,2,的那一支,;,(2),若,|PF,1,|,0,点,P,的轨迹是靠近定点,F,1,的那一支,.,激趣诱思知识点拨名师点析 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号,激趣诱思,知识点拨,微思考,在双曲线的定义中,若去掉条件,0,2,a0,b0),(,a0,b0),焦点,F,1,(-c,0),F,2,(c,0),F,1,(0,-c),F,2,(0,c),a,b,c,的,关系,b,2,=c,2,-a,2,激趣诱思知识点拨2.双曲线的标准方程 焦点位置焦点在x轴上焦,激趣诱思,知识点拨,名师点析,双曲线与椭圆的比较,椭圆,双曲线,定义,|MF,1,|+|MF,2,|=2a,(2a|F,1,F,2,|),|MF,1,|-|MF,2,|=2a,(02a|F,1,F,2,|),a,b,c,的,关系,b,2,=a,2,-c,2,b,2,=c,2,-a,2,焦点在,x,轴上,焦点在,y,轴上,激趣诱思知识点拨名师点析 双曲线与椭圆的比较 椭圆双曲线定,激趣诱思,知识点拨,微练习,激趣诱思知识点拨微练习,激趣诱思,知识点拨,答案,:,D,激趣诱思知识点拨答案:D,激趣诱思,知识点拨,微思考,在双曲线的标准方程中,怎样判断焦点在哪条坐标轴上,?,提示,:,如果含,x,2,项的系数是正的,那么焦点在,x,轴上,;,如果含,y,2,项的系数是正的,那么焦点在,y,轴上,.,激趣诱思知识点拨微思考,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,求双曲线的标准方程,例,1,求适合下列条件的双曲线的标准方程,.,(2),可设双曲线方程为,mx,2,-ny,2,=,1,代入点的坐标,得到方程组,解方程组即可得到,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测求双曲线的标准方程,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,探究一探究二探究三素养形成当堂检测,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,反思感悟,求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出,a,b,的值,.,若焦点位置不确定,可按焦点在,x,轴和,y,轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂,.,若双曲线过两定点,可设其方程为,mx,2,+ny,2,=,1(,mn,0),通过解方程组即可确定,m,n,避免了讨论,从而简化求解过程,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 求双曲线的标准方,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,变式训练,1,根据下列条件,求双曲线的标准方程,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1根据下列条件,求,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,探究一探究二探究三素养形成当堂检测,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,双曲线定义的应用,例,2,已知双曲线,-y,2,=,1,的左、右焦点分别为,F,1,F,2,P,为双曲线右支上一点,点,Q,的坐标为,(,-,2,3),则,|PQ|+|PF,1,|,的最小值为,.,分析,由双曲线方程求出,a,及,c,的值,利用双曲线定义把,|PQ|+|PF,1,|,转化为,|PQ|+|PF,2,|+,2,a,连接,QF,2,交双曲线右支于,P,则此时,|PQ|+|PF,2,|,最小等于,|QF,2,|,由两点间的距离公式求出,|QF,2,|,则,|PQ|+|PF,1,|,的最小值可求,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测双曲线定义的应用,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,探究一探究二探究三素养形成当堂检测,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,(1),若双曲线上一点,M,到它的一个焦点的距离等于,16,求点,M,到另一个焦点的距离,;,(2),如图,若,P,是双曲线左支上的点,且,|PF,1,|,|PF,2,|=,32,试求,F,1,PF,2,的面积,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)若双曲线上一点M到它,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,(1),由双曲线的定义得,|MF,1,|-|MF,2,|=,2,a=,6,又双曲线上一点,M,到它的一个焦点的距离等于,16,假设点,M,到另一个焦点的距离等于,x,则,|,16,-x|=,6,解得,x=,10,或,x=,22,.,故点,M,到另一个焦点的距离为,10,或,22,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)由双曲线的定义得|,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,(2),将,|PF,2,|-|PF,1,|=,2,a=,6,两边平方得,|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,-,2,|PF,1,|,|PF,2,|=,36,则,|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,=,36,+,2,|PF,1,|,|PF,2,|=,36,+,232,=,100,.,在,F,1,PF,2,中,由余弦定理得,探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)将|PF2|-|PF,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,反思感悟,1,.,求双曲线中距离的范围和焦点三角形面积的策略,(1),数形结合,利用双曲线的定义,弄清,|PF,1,|,|PF,2,|,|F,1,F,2,|,三者之间满足的关系式,一般常用到三角变换和解三角形的知识,如例,3(2),中进行面积的讨论中,就用到了余弦定理、面积公式等知识,.,(2),化归思想,将原问题等价转化为易解决的问题,在双曲线中,尤其要注意特殊图形的性质和双曲线的定义,如例,2,中将,|PQ|+|PF,1,|,进行等价转化是问题的核心,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.求双曲线中距,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,2,.,求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种,:,(1),列出等量关系,化简得到方程,;,(2),寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程,.,求解双曲线的轨迹问题时要特别注意,:,(1),双曲线的焦点所在的坐标轴,;,(2),检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.求解与双曲线有关的点的,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,延伸探究,将例,3,中的条件,“,|PF,1,|,|PF,2,|=,32”,改为,“,F,1,PF,2,=,60,”,求,F,1,PF,2,的面积,.,由双曲线的定义和余弦定理得,|PF,2,|-|PF,1,|=,6,|F,1,F,2,|,2,=|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,-,2,|PF,1,|PF,2,|,cos,60,所以,10,2,=,(,|PF,1,|-|PF,2,|,),2,+|PF,1,|,|PF,2,|,所以,|PF,1,|,|PF,2,|=,64,探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 将例3中的条件“,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,变式训练,2,(1),一动圆,P,过定点,M,(,-,4,0),且与已知圆,N,:(,x-,4),2,+y,2,=,16,相切,则动圆圆心,P,的轨迹方程是,(,),(2),已知双曲线,x,2,-y,2,=,1,F,1,F,2,分别为其左、右两个焦点,P,为双曲线上一点,若,PF,1,PF,2,则,|PF,1,|+|PF,2,|,的值为,.,解析,:,(1),动圆圆心为,P,半径为,r,已知圆圆心为,N,半径为,4,.,由题意知,|PM|=r,|PN|=r+,4,或,r-,4,所以,|PN|-|PM|=,4,即动点,P,到两定点的距离之差的绝对值为常数,4,P,在以,M,N,为焦点的双曲线上,且,2,a=,4,2,c=,8,探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(1)一动圆P过,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,(2),不妨设点,P,在双曲线的右支上,因为,PF,1,PF,2,所以,|F,1,F,2,|,2,=|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,=,(2 ),2,又,|PF,1,|-|PF,2,|=,2,所以,(,|PF,1,|-|PF,2,|,),2,=,4,可得,2,|PF,1,|,|PF,2,|=,4,则,(,|PF,1,|+|PF,2,|,),2,=|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,+,2,|PF,1,|,|PF,2,|=,12,所以,|PF,1,|+|PF,2,|=,2,.,答案,:,(1)C,(2)2,探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)不妨设点P在双曲线的,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,探究一探究二探究三素养形成当堂检测,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,双曲线在生活中的应用,例,4“,神舟,”,九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心,(,记,A,B,C,),A,在,B,的正东方向,相距,6,千米,C,在,B,的北偏西,30,方向,相距,4,千米,P,为航天员着陆点,.,某一时刻,A,接收到,P,的求救信号,由于,B,C,两地比,A,距,P,远,在此,4,秒后,B,C,两个救援中心才同时接收到这一信号,.,已知该信号的传播速度为,1,千米,/,秒,求在,A,处发现,P,的方位角,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测双曲线在生活中的应用,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,解,:,因为,|PC|=|PB|,所以,P,在线段,BC,的垂直平分线上,.,又因为,|PB|-|PA|=,4,|PF,2,|,可推断出其轨迹是双曲线的一支,.,当,a=,5,时,方程,y,2,=,0,可知其轨迹与,x,轴重合,舍去在,x,轴负半轴上的一段,又因为,|PF,1,|-|PF,2,|=,2,a,说明,|PF,1,|PF,2,|,所以应该是起点为,(5,0),与,x,轴重合向,x,轴正方向延伸的射线,.,答案,:,D,探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.已知两定点F1(-5,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,2,.,已知双曲线,(,a,0,b,0),F,1,F,2,为其两个焦点,若过焦点,F,1,的直线与双曲线的同一支相交,且所得弦长,|AB|=m,则,ABF,2,的周长为,(,),A.4,a,B.4,a-m,C.4,a+,2,m,D.4,a-,2,m,解析,:,不妨设,|AF,2,|AF,1,|,由双曲线的定义,知,|AF,2,|-|AF,1,|=,2,a,|BF,2,|-|BF,1,|=,2,a