单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,（一）近似方法的重要性,前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：,（,1,）一维无限深势阱问题；,（,2,）线性谐振子问题；,（,3,）势垒贯穿问题；,（,4,）氢原子问题。,这些问题都给出了问题的精确解析解。,然而，对于大量的实际物理问题，,Schrodinger,方程能有精确解的情况很少。通常体系的,Hamilton,量是比较复杂的，往往不能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。,1,引 言,（二）近似方法的出发点,近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。,（三）近似解问题分为两类,（,1,）体系,Hamilton,量不是时间的显函数,定态问题,1.,定态微扰论；,2.,变分法。,（,2,）体系,Hamilton,量显含时间,状态之间的跃迁问题,1.,与时间,t,有关的微扰理论；,2.,常微扰。,2,非简并定态微扰理论,（一）微扰体系方程,（二）波函数和能量的一级修正,（三）能量的二阶修正,（四）微扰理论适用条件,（五）讨论,（六）实例,微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需考虑其他行星的影响。,例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它行星的影响，其轨道需要予以修正。在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。,可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系,Hamilton,量不显含时间，而且可分为两部分：,（一）微扰体系方程,H,(0),所描写的体系是可以精确求解的，其本征值,E,n,(0),，本征矢,|,n,(0),满足如下本征方程：,另一部分,H,是很小的可以看作加于,H,(0),上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰后,Hamilton,量,H,的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的,Schrodinger,方程：,当,H,= 0,时，,|,n, = |,n,(0), , E,n,= E,n,(0),；,当,H, 0,时，引入微扰，使体系能级发生移动，由,E,n,(0), E,n,，状态由,|,n,(0), |,n,。,为了明显表示出微扰的微小,程度，将其写为：,其中,是很小的实数，表征微扰程度的参量。,把,H,E,n,|,n,代入,Schrodinger,方程,因为,E,n,，,|,n,都与微扰有关，可以把它们看成是,的函数而将其展开成,的幂级数：,其中,E,n,(0), E,n,(1), ,2,E,n,(1), .,分别是能量的,0,级近似，一级修正和二级修正等；,而,|,n,(0),|,n,(1),2,|,n,(2), .,分别是状态矢量,0,级近似，,一级修正和二级修正等。,考虑本征方程：,把,H,，,E,n,和,|,n,代入,Schrodinger,方程得：,按照,的幂次把上式展开可得,：,根据等式两边,同幂次项的系数应该相等，可得到如下一系列方程式,:,整理后得：,上面的第一式就是,H,(0),的本征方程，第二、三式分别是,|,n,(1),和,|,n,(2),所满足的方程，由此可解得能量和,态矢的一级、二级修正。,现在我们借助于,H,(0),的态矢,|,n,(0),和本征能量,E,n,(0),来导出扰动后的态矢,|,n,和能量,E,n,的表达式。,(1),能量一级修正,E,n,(1),根据力学量本征矢的完备性假定，,H,(0),的本征矢,|,n,(0),是完备的，任何态矢量都可按其展开，,|,n,(1),也不例外。因此我们可以将态矢的一级修正展开为：,a,kn,(1),= ,代回前面的第二式并计及第一式得：,左乘,为了求出体系态矢的一级修正，可以利用态矢,|,n,的归一化条件证明上式展开系数中,a,n n,(1),= 0,（可以取为,0,）。,系数,在前面已经给出，,代入上式可得：,波函数的一级修正,基于,|,n,的归一化条件并考虑上面的展开式，,证：,由于,归一，,所以,a,n n,(1),的实部为,0,。,a,n n,(1),是一个纯虚数，故可令,a,n n,(1),= i,（,为实）。,上式结果表明，展开式中，,a,n n,(1),|,n,(0),项的存在只不过是使整个态矢量,|,n,增加了一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可取,= 0,，即,a,n n,(1),= 0,。这样一来，就有：,波函数的一级修正,与求态矢的一阶修正一样，将,|,n,(2),按,|,n,(0),展开：,与,|,n,(1),展开式一起代入 关于,2,的第三式,（三）能量的二阶修正,左乘态矢,=,可以看成是,|,k,(0),的线性叠加。,（,2,）展开系数 与,H,k n,成正比，与维扰前能量间隔成反比，所以能量最接近的态的贡献也最大。因此态矢一阶修正无须计算无限多项。,（,3,）,E,n,(1),可能是正或负，引起原来能级上移或下移。,（,4,）对满足适用条件,的问题，通常只求一阶微扰的精度就足够了。如果一级能量修正,H,n n,= 0,就需要求二级修正，态矢求到一级修正即可。,（,5,）在推导中，我们引入了小量,，令,H,= H,(1),只是为,了将扰动后的定态,S-,方程能够按,的幂次展开，仅此而已。,一旦得到了各阶方程后，,就可不用再明显写出。,（,1,）,在一阶近似下：,（五）讨论,例,1.,一电荷为,e,的线性谐振子，受恒定弱电场,作用。电场沿,x,正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。,解：,（,1,）电谐振子,Hamilton,量,将,Hamilton,量分成,H,0,+ H,两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。,（,2,）写出,H,0,的本征值和本征函数,E,(0), ,n,(0),（,3,）计算,E,n,(1),上式积分等于,0,是因为被,积函数为奇函数所致。,（六）实例,（,4,）计算能量,二级修正,欲计算能量二级修正，,首先应计算,H,k n,矩阵元。,利用线性谐振子本征函数的递推公式：,对谐振子有；,E,n,(0),- E,n-1,(0),=,E,n,(0),- E,n+1,(0),= -,，,代入,由此式可知，能级移动与,n,无关，即与扰动前振子的状态无关。,（,6,）讨论：,1.,电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元,计算二级修正：,代入能量二级修正公式：,2.,电谐振子的精确解,实际上这个问题是可以精确求解的，只要我们将体系,Hamilton,量作以下整理：,其中,x,= x,e/,2,，,由此可见，体系仍是一个线性谐振子。但它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子的相应能级低,e,2,2,/ 2,2,；,同时平衡点向右移动了距离,e/,2,。,由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没有确定的宇称。这一点可以从下式扰动后的波函数,n,已变成,n,(0), ,n+1,(0), ,n-1,(0),的叠加看出。,例,2.,设,Hamilton,量的矩阵形式为：,（,1,）设,c 1,，用微扰论求能级到二级近似；,（,2,）求,H,的精确本征值；,（,3,）在怎样条件下，上面二结果一致。,*,解：,（,1,）,c 1,，可取,0,级和微扰,Hamilton,量分别为：,H,0,是对角矩阵，是能量算符,H,0,在自身表象中的形式。所以能量的,0,级近似为：,E,1,(0),= 1 E,2,(0),= 3 E,3,(0),= - 2,由非简并微扰公式,得能量一级修正：,能量二级修正为：,准确到二级近似的能量本征值为：,设,H,的本征值是,E,，由久期方程可解得：,解得：,(3),将准确解按,c (, |n2, ., |n k,=,满足本征方程：,我们不知道在,k,个本征函数中究竟应取哪一个作为微扰波函数的,0,级近似。所以在简并情况下，首先要解决的问题是如何选取,0,级近似波函数的问题，然后才是求能量和波函数的各级修正。,0,级近似波函数肯定应从这,k,个,| n,中挑选，而它应满足上节按,幂次分类得到的方程：,共轭方程,（一）简并微扰理论,根据这个条件，我们选取,0,级近似波函数,|,n,(0),的最好方法是将其表示成,k,个,| n,的线性组合，因为反正,0,级近似波函数要在,| n, (,=1, 2, ., k ),中挑选。,|,n,(0),已是正交归一化,系数,c,由,的,一,次幂方程,定出,左乘,n,|,得：,得：,上式是以展开系数,c,为未知数的齐次线性方程组，它有非零解的条件是系数行列式为零，即,解此久期方程， 可得能量的一级修正,E,n,(1),的,k,个根：,E,n,(1),= 1, 2, ., k.,因为,E,n,= E,n,(0),+ E,(1),n,所以：,若这,k,个根都不相等，那末一级微扰就可以将,k,度简并完全消除。,为了确定能量,E,n,所对应的,0,级近似波函数，可以把,E,(1),n,之值代入线性方程组从而解得一组,c,(,= 1,2,.,k.),系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的,0,级近似波函数。,若,E,n,(1),有几个重根，则简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级的简并完全消除。,为了能表示出,c,是对应与第,个能量一级修正,E,n,(1),的一组系数，我们在其上加上角标,而改写成,c,。这样一来，,线性方程组,就改写成：,则对应,E,n,(1),修正的,0,级近似波函数改写为,例,1.,氢原子,一级,Stark,效应,（,1,）,Stark,效应,氢原子在外电场作用下产生谱线,分裂现象称为,Stark,效应。,我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第,n,个能级有,n,2,度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并被部分消除。,Stark,效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。,（,2,）外电场下氢原子,Hamilton,量,取外电场沿,z,正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多（强电场 ,10,7,伏,/,米，原子内部电场 ,10,11,伏,/,米），,二者相差,4,个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。,（,3,）,H,0,的本征值,和本征函数：,下面我们只讨论,n = 2,的情况，这时简并度,n,2,= 4,。,N=2,能级的,4,个简并态是：,（,4,）求,H,在各态中的矩阵元,由简并微扰理论知,求解久期方程,须先计算出,H,在以上各态的矩阵元。,我们碰到角积分,需要利用如下公式：,于是,:,欲使上式不为,0,，由球谐函数正交归一性,要求量子数必须满足如下条件：,仅当,= 1,m = 0,时，,H,的矩阵元才,不为,0,。因此,矩阵元中只有,H,12, H,21,不等于,0,。,因为,所以,（,5,）能量一级修正,将,H,的矩阵元代入久期方程：,解得,4,个根：,由此可见，在外场作用下，原来,4,度简并的能级,E,2,(0),在一级修正下，被分裂成,3,条能级，简并部分消除。当跃迁发生时，原来的一条谱线就变成了,3,条谱线。其频率一条与原来相同，另外两条中一条稍高于一条稍低于原来频率。,（,6,）求,0,级近似波函数,将,E,2,(1),的,4,个值分别代入方程组：,得四元一次线性方程组：,将,E,21,(1),= 3ea,0,代入上面方程，得：,所以相应于能级,E,2,(0),+ 3ea,0,的,0,级近似波函数是：,将,E,22,(1),= - 3ea,0,代入上面方程，得：,所以相应于能级,E,(0),2,- 3ea,0,的,0,级近似波函数是：,将,E,23,(1),= E,24,(1),= 0,，代入上面方程，得：,因此相应与,E,2,(0),的,0,级近似波函数可以按如下方式构成：,我们不妨仍取原来的,0,级波函数，即令：,（,7,）讨论,上述结果表明，若氢原子处于,0,级近似态,1,(0), ,2,(0), ,3,(0), ,4,(0),那末，氢原子就好象具有了大小为,3ea,0,的永久电偶极矩一般。对于处在,1,(0), ,2,(0),态的氢原子，其电矩取向分别与电场方向平行和反平行；而对于处在,3,(0), ,4,(0),态的氢原子，其电矩取向分别与电场方向垂直。,例,2.,有一粒子，其,Hamilton,量为：,H = H,0,+ H,，其中,求能级的一级近似和波函数的,0,级近似。,解：,H,0,的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。,E,(1),(E,(1),),2,- ,2, = 0,解得：,E,(1),= 0, ,.,记为：,E,1,(1),=-,E,2,(1),= 0,E,3,(1),= +,故能级一级近似：,简并完全消除,(1),求本征能量,由久期方程,|H,- E,(1),I| = 0,得：,(2),求解,0,级近似波函数,将,E,1,(1),= ,代入方程，得：,由归一化条件：,则,将,E,2,(1),= 0,代入方程，得：,则,由归一化条件：,1.,正交性,取复共厄,改记求和指标,，,，,（三）讨论,新,0,级近似波函数满足正交归一条件。,对应于,E,n,= E,n,(0),+ E,n,(1),和,E,n,= E,n,(0),+ E,n,(1),的,0,级近似本征函数分别为：,由,(3),式,上式表明，新,0,级近似波函数满足正交条件。,2.,归一性,对于同一能量，即角标,=,，则上式变为：,Eq.(3),和,Eq.(4),合记之为：,由于新,0,级近,似波函,数应满,足归一,化条件，,（,2,）在新,0,级近似波函数,|,n,(0),为基矢的,k,维子空间中，,H,从而,H,的矩阵形式是对角化的。,证：,上式最后一步利用了,Eq.(5),关系式。所以,H,在新,0,级近似波函数为基矢的表象中是对角化的。,证毕,因为,H,0,在自身表象中是对角化的，所以在新,0,级近似波函数为基矢的表象中也是对角化的。 当,=,时，上式给出如下关系式：,也就是说，能量一级修正是,H,在新,0,级波函数中的平均值。这一结论也是预料之中的事。求解简并微扰问题，从本质上讲就是寻找一么正变换矩阵,S,，使,H,从而,H,对角化。求解久期方程和线性方程组就是寻找这一么正变换矩阵的方法。,例如：前面讲到的例,2,应用简并微扰论解得的新,0,级近似波函数是：,这是新,0,级近似波函数在原简并波函数,i,i = 1,2,3.,为基矢所张开的子空间中的矩阵表示，即,我们求解,就是为了寻找一个么正变换,S,，使原来的,H = H,0,+ H,在以,i,为基矢的表象中的表示变到,(0),为基矢的表象中，从而使,H,对角化。,根据表象理论，若,(0),在以,i,为基矢的表象中的形式由下式给出，,则由,表象到,(0),表象的么正变换矩阵为：,其逆矩阵,H,从,表象变到,(0),表象由下式给出：,5.4,变分法,（一）能量的平均值,（二）,与,E,0,的偏差和,试探波函数的关系,（三）如何选取试探波函数,（四）变分方法,（五）实例,微扰法求解问题的条件是体系的,Hamilton,量,H,可分为两部分,其中,H,0,有精确解析解，而,H,很小。如果上面条件不满足，微扰法就不适用。这时我们可以采用另一种近似方法,变分法,。,设体系的,Hamilton,量,H,的本征值由小到大顺序排列为：,E,0, E,1, E,2, . E,n, |,1, |,2, .| ,n,.,上式第二行是与本征值相应的本征函数，其中,E,0,、,|,0,分别为基态能量和基态波函数。,（一）能量的平均值,为简单计，假定,H,本征值,是分立的，本征函数组,成正交归一完备系，即,设,|,是任意归一化波函数，在此态中体系能量平均值：,证：,则,这个不等式表明，用任意波函数,|,计算出的平均值,总是大于（或等于）体系基态的能量，而仅当该波函数等于体系基态波函数时，平均值,才等于基态能量。,若,|,未归一化，则,插入,单位,算符,基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数；,| |(1), |(2),., |(k),.,称为试探波函数，来计算,其中最小的一个就最接近基态能量,E,0,，即,选取的试探波函数越接近基态波函数，则,H,的平均值就越接近基态能量,E,0,。这就为我们提供了一个计算基态能量本征值近似值的方法。,使用此方法求基态能量近似值还需要解决以下两个问题：,（,1,）试探波函数,|,与,|,0,之间的偏差和,平均值,与,E,0,之间偏差的关系；,（,2,）如何寻找试探波函数,|,。,由上面分析可以看出，试探波函数越接近基态本征函数，,就越接近基态能量,E,0,.,那末，由于试探波函数选取上的偏差,| - |,0,会引起, - E,0,的多大偏差呢？,为了讨论这个问题，我们假定已归一化的试探波函数为：,其中,是一常数，,|,是任一波函数，满足,|,0,所满足的,同样的边界条件。,显然,|,有各种各样的选取方式，通过引入,|,就可构造出在,|,0,附近的有任意变化的试探波函数。,（,1,）,与,E,0,的偏差和 试探波函数的关系,结论,上述讨论表明，对本征函数附近的一个任意小的变化，本征能量是稳定的。因此，我们选取试探波函数的误差不会使能量近似值有更大的误差。,这也就是说，,是小量，,|,与,|,0,很接近，则,与,E,0,更接近。当且仅当,|=|,0,时，有, = E,0,可见，若,是一小量，即波函数偏差,|, - |,0, =,|,是一阶小量，即,是二阶小量。,考虑能量偏差：,试探波函数的好坏直接关系到计算结果，但是如何选取试探波函数却没有一个固定可循的法则，通常是根据物理上的直觉去猜测。,（,1,）根据体系,Hamilton,量的形式和对称性，推测合理的试探波函数；,（,2,）试探波函数要满足问题的边界条件；,（,3,）为了灵活性，试探波函数应包含自由参数,-,变分参数；,（,4,）若体系,Hamilton,量可以分成两部分,H = H,0,+ H,1,，,而,H,0,的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体,系的试探波函数。,（三）如何选取试探波函数,例：一维谐振子试探波函数,一维简谐振子,Hamilton,量：,其本征函数是：,下面我们根据上面所述原则构造试探波函数。,方法,I,：,试探波函数可写成：,显然，这不是谐振子的本征函数，但是它是合理的。,1.,因为谐振子势是关于,x = 0,点对称的，我们的试探波函数也是关于,x = 0,点对称的；,2.,满足边界条件，即当,|x| ,时，, 0,；,3.,含有一个待定的,参数。,方法,II:,亦可选取如下试探波函数：,A,是归一化常数，,是变分参量。这个试探波函数比第一个好，因为,1.,(x),是光滑连续的函数；,2.,关于,x = 0,点对称，满足边界条件即当,|x|,时，, 0,；,3.,(x),是高斯函数，高斯函数有很好的性质，,可作解析积分，且有积分表可查。,有了试探波函数后，我们就可以计算,能量平均值是变分参数,的函数，欲使,取最小值，则要求：,由上式就可定出试探波函数中的变分参量,取何值时,有最小值。,（四）变分方法,对一维简谐振子试探波函数，前面已经给出了两种可能的形式。下面我们就分别使用这两种试探波函数，应用变分法求解谐振子的基态近似能量和近似波函数。,例,1.,方法,I,使用第一种试探波函数：,1.,首先定归一化系数,2.,求能量平均值,（五）实例,3.,变分求极值,代入上式得基态能量近似值为：,我们知道一维谐振子基态能量,E,0,= 1/2, = 0.5,，比较二式可以看出，近似结果还不太坏。,方法,II,使用第二种试探波函数：,1.,对第二种试探波函数定归一化系数：,2.,求能量平均值,3.,变分求极值,代入上式得基态能量近似值为：,这正是精确的一维谐振子基态能量。这是因为若将,代入试探波函数，得：,正是一维谐振子基态波函数。此例之所以得到了正确的结果，是因为我们在选取试探波函数时要尽可能的通过对体系物理特性（,Hamilton,量性质）的分析，构造出物理上合理的试探波函数。,5.5,氦原子基态（变分法）,氦原子是由带正电,2e,的原子核与核外,2,个电子组成的体系。由于核的质量比电子质量大得多，所以可以认为核是固定不动的。于是氦原子,Hamilton,算符可用下式表示：,用变分法求氦原子基态能量。,（,1,）氦原子,Hamilton,量,将,H,分成两部分,其中,其中,H,0,是两个电子独立在核电场中运动的,Hamilton,量所以,H,0,基态本征函数可以用分离变量法解出。,（,2,）试探波函数,令：,则,H,0,的本征函数,由于,H,1, H,2,是类氢原子的,Hamilton,量，其本征函数已知为：,将其作为氦原子基态,试探波函数。,（,3,）变分参数的选取,当二核外电子有相互作用时，它们相互起屏蔽作用，使得核有效电荷不是,2e,，因此可选,Z,为变分参数。,（,4,）变分法求基态能量,1.,下面我们将使用,H-F,定理求解上述两个平均值。,由,“,Hellmann,Feynman,”,定理，在中心力场问题中的应用,”,中的例（,2,）的结果可知,对基态,n = 1,由,H-F,定理可证：,证：,证毕,所以,于是,2.,下面求平均值,令：,积分公式,3.,平均值,4.,求极值,5.,基态近似能量,（,5,）基态近似波函数,作 业,周世勋,量子力学教程,5.1,、,5.2,、,5.3,曾谨言,量子力学导论,10.1,、,10.3,、,10.8,、,10.9,、,10.10,1,含时微扰理论,2,量子跃迁几率,3,光的发射和吸收,5.6,含时微扰理论,(,一,),引言,上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论的体系,Hamilton,算符不显含时间，因而求解的是定态,Schrodinger,方程。,本章讨论的体系其,Hamilton,算符含有与时间有关的微扰，即：,因为,Hamilton,量与时间有关，所以体系波函数须由含时,SE,解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。,含时微扰理论可以通过,H,0,的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。,假定,H,0,的本征,函数,n,满足：,H,0,的定态波函数可以写为：,n,=,n,exp-i,n,t /,满足左边含时,S -,方程：,定态波函数,n,构成正交完备系，整个体系的波函数,可按,n,展开：,代入,因,H(t),不含对时间,t,的偏导数算符,故可,与,a,n,(t),对易。,相消,（二）含时微扰理论,以,m,*,左乘上式后,对全空间积分,该式是通过展开式 改写而成的,Schrodinger,方程的另一种形式。仍是严格的。,含时薛定谔方程,求解含时,SE,的方法同定态微扰中使用的方法：,（,1,）引进一个参量,，用,H,代替,H,（在最后结果中再令,= 1,）；,（,2,）将,a,n,(t),展开成下列幂级数；,（,3,）代入上式并按,幂次分类；,(4),解这组方程，我们可得到关于,a,n,的各级近似解，近而得到波函数,的近似解。实际上，大多数情况下，只求一级近似就足够了。,（最后令,= 1,，即用,H,mn,代替,H,mn,，用,a,m,(1),代替,a,m,(1),。）,零级近似波函数,a,m,(0),不随时,间变化，它由未微扰时体系,所处的初始状态所决定。,假定,t,0,时，体系处于,H,0,的第,k,个本征态,k,。而且由于,exp-i,n,t/,|,t=0,= 1,，于是有：,比较等式两边得,比较等号两边同,幂次项得：,因,a,n,(0),不随时间变化，所以,a,n,(0),(t) = a,n,(0),(0) =,nk,。,t,0,后加入微扰，则第一级近似：,a,n,(0),(t) =,n k,假定,H,0,的本征函数,n,满足：,考虑该初始条件，得到,SE,的解为：,求解含时,SE,的小结：,考虑体系的某一状态,t=0,时，体系处在,k,态,t,时刻发现体系处于,m,态的几率等于,| a,m,(t) |,2,a,m,(0),(t) =,mk,末态不等于初态时,mk,= 0,，则,所以体系在微扰作用下由初态,k,跃迁到末态,m,的几率在一级近似下为：,跃迁几率,5.7,量子跃迁几率,（一）跃迁几率,（二）一阶常微扰,（三）简谐微扰,（四）实例,（五）能量和时间测不准关系,根据前面的讨论，我们知道：在一级近似下，体系在微扰作用下由初态,k,跃迁到末态,m,的几率为：,（一）跃迁几率,我们下面考虑两种典型情况：,（,1,）常维扰；,（,2,）周期维扰；,（,1,）含时,Hamilton,量,设,H,在,0,t,t,1,这段时间之内不为零，但与时间无关，即：,（,2,）一级微扰近似,a,m,(1),H,mk,与,t,无关,(0,t,t,1,),（二）一阶常微扰,（,3,）跃迁几率和跃迁速率,极限公式：,则当,t ,时 上式右第二个分式有如下极限值：,于是：,跃迁速率：,（,4,）讨论,1.,上式表明，,对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁速率将与时间无关，且仅当能量,m,k,，即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。,在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说,末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。,2.,式中的,(,m,-,k,),反映了跃迁过程的能量守恒。,3.,黄金定则,设体系在,m,附近,d,m,范围内的能态数目是,(,m,) d,m,，则跃迁到,m,附近一系列可能末态的跃迁速率为：,（,1,）,Hamilton,量,t=0,时加入一个简谐,振动的微小扰动：,为便于讨论，将上式改写成如下形式,F,是与,t,无关,只与,r,有关的算符,（,2,）求,a,m,(1),(t),H,(t),在,H,0,的第,k,个和第,m,个本征态,k,和,m,之间的微扰矩阵元是：,（三）周期微扰,（,2,）几点分析,(I),当, = ,mk,时，微扰频率,与,Bohr,频率相等时，上式第二项,分子分母皆为零。求其极限得：,第二项起,主要作用,(II),当, =,mk,时，同理有：,第一项起,主要作用,(III),当, ,mk,时，两项都不随时间增大,总之，仅当, =,mk,或,m,=,k,时，才出现明显跃迁。这就是说，仅当外界微扰含有频率,mk,时，体系才能从,k,态跃迁到,m,态，这时体系吸收或发射的能量是,mk,。这说明我们讨论的跃迁是一种共振现象。,因此我们只需讨论, ,mk,的情况即可。,（,3,）跃迁几率,当,=,m k,时，略去第一项，则,此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：,H ,mk, F,mk, ,mk, ,mk,-,，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微扰情况下的跃迁几率为：,同理， 对于, = -,m k,有：,二式合记之：,（,4,）跃迁速率,或：,（,5,）讨论,1. (,m,-,k,),描写了能量守恒：,m,-,k,= 0,。,2. ,k,m,时，跃迁速率可写为：,也就是说，仅当,m,=,k,-,时跃迁几率才不为零，此时发射能量为,的光子。,3.,当,k, 0,时，附加一与振子振动方向相同的恒定外电场,E,，求谐振子处在任意态的几率。,解：,t=0,时，,振子处,于基态，,即,k=0,。,式中,m,1,符号表明，只有,当,m=1,时，,a,m,(1),(t) 0,，,（四）实例,所以,结论：外加电场后，谐振子从基态,0,跃迁到,1,态的几率是,W,01,，而从基态跃迁到其他态的几率为零。,例,2.,量子体系能量为：,E,0, E,1, ., E,n, .,， 相应本征态分别是：,|0, |1, ., |n, .,， 在,t 0,时处于基态。在,t = 0,时刻加上微扰：,试证：长时间后，该体系处于另一能量本征态,|1,的几率为：,并指出成立的条件。,证：,因为,m=1, k=0,，所以：,代入上式得：,当,t (t ),时：,此式成立条件就是微扰法成立条件，,|a,1,(1),|,2,k,),。,在,t t,1,时刻，,k,m,的,跃迁几率则为：,（,1,）由图可见，跃迁几率的贡献主要来自主峰范围内，即在,-2/t,1,mk, 2/t,1,区间跃迁几率明显不为零，而此区间外几率很小。,2,/ t,4,/ t,-2,/ t,-4,/ t,mk,-,|F,mk,|,2,t /,2,W,k,m,0,（五）能量和时间测不准关系,（,2,）能量守恒不严格成立，,即在跃迁过程中，,mk,= ,不严格成立，它们只在上图原点处严格成立。,因为在区间,-2/t,1, 2/t,1,，跃迁几率都不为零， 所以既可能有,mk,= ,，也可能有,-2/t,1, ,mk,+2/t,1,。,上面不等式两边相减得：,mk,(1/t,1,),也就是说,mk,有一个不确定范围。由于,k,能级是分立的，,k,是确定的，注意到,mk,= 1/,(,m,-,k,),，所以,mk,的不确定来自于末态能量,m,的不确定，即：,若把微扰过程看成是测量末态能量,m,的过程，,t,1,是测量的时间间隔，那末上式表明，能量的不确定范围,m,与时间间隔之积有,的数量级。,上式有着普遍意义，一般情况下，当测量时间为,t,，所测得的能量不确定范围为,E,时，则二者有如下关系：,此式称为能量和时间的测不准关系。由此式可知，测量能量越准确（,E,小），则用于测量的时间,t,就越长。,(,一,),引言,（二）光的吸收与受激发射,（三）选择定则,（四）自发辐射,（五）微波量子放大器和激光器,3,光的发射和吸收,光的吸收和受激发射：,在光的照射下，原子可能吸收光而从较低能级跃迁到较高能级，反之亦然，我们分别称之为,光的吸收和受激发射,。,自发辐射：,若原子处于较高能级（激发态），即使没有外界光照射，也能跃迁到较低能级而发射光子的现象称为,自发辐射,。,对于原子和光的相互作用（吸收和发射）所产生的现象，彻底地用量子理论解释，属于量子电动力学的范围，这里不作讨论。本节采用较简单地形式研究这个问题。,光吸收发射的半径典处理：,（,1,）对于原子体系用量子力学处理；,（,2,）对于光用经典理论处理，即把光看成是电磁波。,这样简单化讨论只能解释吸收和受激发射而不能解释自发辐射。,(,一,),引言,（,1,）两点近似,1.,忽略光波中磁场的作用,照射在原子上的光波，其电场,E,和磁场,B,对原子中电子的作用分别为（,CGS,）：,二者之比：,即，光波中磁场与电场对电子作用能之比，近似等于精细结构常数,，所以磁场作用可以忽略。,B,E,（二）光的吸收与受激发射,2.,电场近似均匀,考虑沿,z,轴传播的单色偏振光，即其电场可以表示为：,电场对电子的作用仅存在于电子活动的空间，即原子内部。所以我们所讨论的问题中，,z,的变化范围就是原子尺度 ,a 10,-10,m,，而, 10,-6,m,。,故电场中的,可略,于是光波电场可改写为：,所以在原子范围内可以近似认为电场是均匀的。,（,2,）微扰,Hamilton,量,电子在上述电场中的电势能是：,（,3,）求 跃迁速率,km,对光的吸收情况，,k, = |n l |l m,（三）选择定则,为方便计，在球坐标下计算矢量,r,的矩阵元。,于是,可见矩阵元计算分为两类：,(II),计算,利用球谐函数的性质,I,：,则积分,欲使矩阵元不为零，则要求：,(III),计算,利用球谐函数,的性质,II,：,则积分,欲使矩阵元不为零，则要求：,(IV),选择定则,综合,(II),、,(III),两点,得偶极跃迁选择定则：,这就是电偶极辐射角量子数和磁量子数的选择定则，在量子力学建立之前，它是通过光谱分析中总结出来的经验规则。,径向积分,在,n,、,n,取任何数值时均不为零，所以关于主量子数没有选择定则。,（,3,）严格禁戒跃迁,若偶极跃迁几率为零，则需要计算比偶极近似更高级的近似。在任何级近似下，跃迁几率都为零的跃迁称为严格禁戒跃迁。,光辐射、吸收,光子产生与湮灭,量子电动力学,电磁场量子化,在前面的讨论中，我们将光子产生与湮灭问题转化为在电磁场作用下原子在不同能级之间的跃迁问题，从而用非相对论量子力学进行了研究。,这种简化的物理图象,不能合理自恰的解释,自 发 发 射 现 象,这是因为，若初始时刻体系处于某一定态（例如某激发能级），根据量子力学基本原理，在没有外界作用下，原子的,Hamilton,是守恒量，原子应该保持在该定态，是不会跃迁到较低的能级上去的。,Einstein,曾提出了一个半唯象的理论，来简化处理自发发射问题。他借助于物体与辐射场在达到平衡时的热力学关系，建立了自发发射与吸收和受激发射之间的关系。,（四）自发辐射,（,1,）吸收系数,设原子在强度为,I(),的光照射下，,从,k,态到,m,态（,m, ,k,）,的跃迁速率为：,吸收,系数,与微扰论得到的公式,比较得：,（,2,）受激发射系数,对于从,m,态到,k,态（,m,k,）的受激发射跃迁速率，,Einstein,类似给出：,受激,发射,系数,与相应的微扰论公式比较得：,由于,r,是厄密算符，所以,从而有：,受激发射系数等于吸收系数，它们与入射光的强度无关。,（,3,）自发发射系数,1.,自发发射系数,A,mk,的意义,2. A,mk,，,B,mk,和,B,km,之间的关系,在光波作用下，单位时间内，体系从,m,能级跃迁到,k,能级的几率是：,从,k,能级跃迁到,m,能级的几率是：,自发发射,受激发射,当这些原子与电磁辐射在绝对温度,T,下处于平衡时，必须满足右式条件：,在没有外界光的照射下，单位时间内原子从,m,态到,k,态（,m, ,k,）的跃迁几率。,k,能级上的,原子的数目,m,能级上的,原子的数目,3.,求能量密度,由上式可以解得能量密度表示式：,B,km,= B,mk,求原子数,N,k,和,N,m,据麦克斯韦,-,玻尔兹曼分布律：,二式相比,代入上式,得：,4.,与黑体辐射公式比较,在第一章给出了,Planck,黑体辐射公式,辐射光在频率,间隔,+d,内的能量密度,在角频率,间隔,+d,内,辐射光的,能量密度,所以,考虑到,=2,和,d= 2d,代入辐射公式得：,mk,=h,mk,5.,自发发射系数表示式,由于自发发射系数,A,mk, | r,mk,|,2,，所以自发发射与受激发射具有同样的选择定则。,（,4,）自发跃迁辐射强度,A,mk,单位时间内原子从,m,自发地跃迁到,k,的几率，,与此同时，原子发射一个,mk,的光子。,N,m,处于,m,原子数，,N,m,A,mk,单位时间内发生自发跃迁原子数。也是发射能,量为,m k,的光子数。,频率为,mk,的光总辐射强度,（,5,）原子处于激发态的寿命,处于激发态,m,的,N,m,个原子中，在时间,dt,内自发跃迁到低能态,k,的数目是,表示激发态,原子数的减少,积分后得到,N,m,随时间变化得规律,t=0,时,N,m,值,平均寿命,如果在,m,态以下存在许多低能态,k,( k=1,2,i ),单位时间内,m,态自发跃迁的总几率为：,单位时间内原子从,m ,第,k,态 的跃迁几率,原子处于,m,态的平均寿命,（,1,） 受激辐射的重要应用,微波量子放大器和激光器,受激辐射的特点：出射光束的光子与入射光子的状态完全相同 （能量、传播方向、相位）。,I,微波量子放大器,E,m,E,k,m,k,N,m,N,k,II,激光器,自发辐射的光子引起受激辐射的连锁反应过程,入射光子引起的受激辐射过程,（五）微波量子放大器和激光,（,2,）受激辐射的条件,工作物质中，原子体系处于激发态,m,，为了获得受激发射而跃迁到低能态,k,必须具备两个条件。,粒子数反转，,II,自发辐射, N,k,的现象称为粒子数反转。,粒子数反转是受激发射的关键，各种类型的微波量子放大器和激光器就是要采用各种不同的方法来实现粒子数反转。,如前所述：,自发辐射几率,受激辐射几率,对于室温而言，,T = 300,0,K,，,则,0,= 2 . 9 10,13,s,-1,0,= 0 . 00006 m,II,自发辐射,0,时,当,m k, 0 . 00006 m =,0,，即,m k,低，,自发辐射几率,受激辐射几率，产生 受激辐射的条件自然得到满足。,可见光情况：,m k,受激辐射几率，不满足产生 受激辐射的条件。为此就必须用一个谐振腔来增强辐射场使辐射密度远大于热平衡时的数值，以提高受激辐射几率。,作 业,周世勋,量子力学教程,5.4,、,5.5,、,5.7,、,5.8,曾谨言,量子力学导论,11. 1,、,11. 2,、,11. 3,