第一章,立体几何初步,6,垂直关系,理解教材新知,应用创新演练,知识点一,6.2,垂直关系的性质,把握热点考向,考点一,考点二,考点三,知识点二,第一章 6理解教材新知应用创新演练知识点一6.2把握热点,第一部分-第一章-6-6,第一部分-第一章-6-6,第一部分-第一章-6-6,第一部分-第一章-6-6,问题,1,：在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？,提示：,平行,问题,2,：在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，棱,AA,1,、,BB,1,、,CC,1,、,DD,1,都垂直于平面,ABCD,，它们之间有什么位置关系呢？,提示：,平行,问题1：在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直,问题,3,：垂直于同一平面的两条直线是否平行呢？,提示：,平行,问题,4,：垂直于同一直线的两直线是否平行呢？,提示：,不一定，若在同一平面内，则平行，若在空间中，可能平行，相交，也有可能异面,问题3：垂直于同一平面的两条直线是否平行呢？,直线与平面垂直的性质定理,a,b,垂直于一个平面,直线与平面垂直的性质定理ab垂直于一个平面,问题,1,：,黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画一条直线与地面垂直？,提示：,能，画一条直线垂直于交线,问题1：黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在,问题,2,：如图长方体,ABCD,A,B,C,D,中，平面,A,ADD,与平面,ABCD,垂直，,平面,A,ADD,内的直线,AD,、,A,A,与平面,ABCD,垂直吗？平面,A,ADD,内的直线满足什么条件时才与平面,ABCD,垂直？,提示：,AA,与平面,ABCD,垂直；,AD,与平面,ABCD,不垂直平面,A,ADD,内的直线与,AD,垂直时才与平面,ABCD,垂直,问题2：如图长方体ABCDABC,平面与平面垂直的性质定理,l,a,a,l,交线,平面与平面垂直的性质定理laal交线,1.,线面垂直的性质定理提供了证明线线平行的重要依据，也是由垂直转化为平行的重要方法,.,2.,面面垂直的性质定理可简记为,“,面面垂直，则线面垂直,”,.,但,“,线,”,必须同时满足两个条件，即在其中一个平面内且垂直于交线，,“,在平面内,”,不能舍去,.,1.线面垂直的性质定理提供了证明线线平行的,第一部分-第一章-6-6,例,1,如图，已知,AD,AB,，,AD,AC,，,AE,BC,交,BC,于,E,，,D,是,FG,的中点，,AF,AG,，,EF,EG,.,求证：,BC,FG,.,思路点拨,证明,BC,平面,ADE,，,FG,平面,ADE,，可得,BC,FG,.,例1如图，已知ADAB，ADAC，,精解详析,连接,DE,.,AD,AB,，,AD,AC,，,AD,平面,ABC,.,又,BC,平面,ABC,，,AD,BC,，又,AE,BC,.,BC,平面,ADE,.,AF,AG,，,D,为,FG,的中点，,AD,FG,.,同理,ED,FG,，,AD,ED,D,.,FG,平面,ADE,.,BC,FG,.,精解详析连接DE.,一点通,1,线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法,.,2,证明线线平行的方法,(1),a,c,，,b,c,a,b,.,(2),a,，,a,，,b,a,b,.,(3),，,a,，,b,a,b,.,(4),a,，,b,a,b,.,一点通,1,如图，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,是,棱,DD,1,的中点，则过,M,且与直线,AB,和,B,1,C,1,都垂直的直线有,_,条,(,),A,1,B,2,C,3 D,无数条,1如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M是,解析：,显然,DD,1,是满足条件的一条，如果还有一条,l,满足条件，则,l,B,1,C,1,，,l,AB,，又,AB,C,1,D,1,，则,l,C,1,D,1,，,B,1,C,1,C,1,D,1,C,1,，,l,平面,B,1,C,1,D,1,.,同理,DD,1,平面,B,1,C,1,D,1,，则,l,DD,1,.,又,l,与,DD,1,都过,M,.,这是不可能的，因此只有,DD,1,一条满足条件,答案：,A,解析：显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则,2,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,E,、,F,分别在,A,1,D,、,AC,上，且,EF,A,1,D,，,EF,AC,.,求证：,EF,BD,1,.,证明：,如图所示，连接,AB,1,、,B,1,C,、,BD,.,DD,1,平面,ABCD,，,AC,平面,ABCD,，,DD,1,AC,.,又,AC,BD,，且,BD,DD,1,D,，,2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F,AC,平面,BDD,1,B,1,.,BD,1,平面,BDD,1,B,1,，,BD,1,AC,.,同理可证,BD,1,B,1,C,，又,AC,B,1,C,C,，,BD,1,平面,AB,1,C,.,EF,A,1,D,，,A,1,D,B,1,C,，,EF,B,1,C,.,又,EF,AC,，且,AC,B,1,C,C,，,EF,平面,AB,1,C,，,EF,BD,1,.,AC平面BDD1B1.,例,2,如图，,A,，,B,，,C,，,D,为空间四点，在,ABC,中，,AB,2,，,AC,BC,.,等边三角形,ADB,以,AB,为轴转动,(1),当平面,ADB,平面,ABC,时，求,CD,；,(2),当,ADB,转动时，是否总有,AB,CD,？证明你的结论,.,思路点拨,(1),取,AB,的中点,E,，连接,DE,，,CE,，由于平面,ADB,平面,ABC,，故由面面垂直的性质定理得,DE,CE,，从而在,Rt,DCE,中，可求,CD,.,(2),分,D,是否在平面,ABC,内进行讨论,例2如图，A，B，C，D为空间四点，在,第一部分-第一章-6-6,(2),当,ADB,以,AB,为轴转动时，总有,AB,CD,.,证明：当,D,在平面,ABC,内时，,因为,AC,BC,，,AD,BD,，,所以,C,，,D,都在线段,AB,的垂直平分线上，即,AB,CD,.,当,D,不在平面,ABC,内时，由,(1),知,AB,DE,.,又因,AC,BC,，所以,AB,CE,.,又,DE,CE,E,，所以,AB,平面,CDE,.,又,CD,平面,CDE,，得,AB,CD,.,综上所述，总有,AB,CD,.,(2)当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD.,一点通,1,面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线这样就可利用面面垂直证明线面垂直,2,证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理，应用此定理时要注意以下三点：两个平面垂直；直线在一个平面内；直线垂直于交线，缺一不可,一点通,3,(2011,郓城高一模块测试,),如图，已知,PA,平面,ABC,，,平面,APB,平面,BPC,.,求证：,AB,BC,.,证明：,平面,PAB,平面,CPB,，且,PB,为交线,如图，在平面,PAB,内，过,A,点作,AD,PB,，,D,为垂足，则,AD,平面,CPB,，又,BC,平面,CPB,，,所以,AD,BC,.,因为,PA,平面,ABC,，,BC,平面,ABC,，所以,PA,BC,，又,PA,AD,A,，所以,BC,平面,PAB,，又,AB,平面,PAB,，所以,AB,BC,.,3(2011郓城高一模块测试)如图，已知PA平面ABC,4,已知平面,PAB,平面,ABC,，平面,PAC,平面,ABC,，,AE,平面,PBC,，,E,为垂足,(1),求证：,PA,平面,ABC,；,(2),当,E,为,PBC,的垂心时，求证：,ABC,是直角三角形,.,证明：,(1),如图，在平面,ABC,内取一点,D,，作,DF,AC,于点,F,，平面,PAC,平面,ABC,，且交线为,AC,，,DF,平面,PAC,.,又,PA,平面,PAC,，,DF,AP,.,作,DG,AB,于点,G,，,同理可证,DG,AP,，,DG,、,DF,都在平面,ABC,内且交点为,D,，,PA,平面,ABC,.,4已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，,(2),连接,BE,并延长，交,PC,于点,H,.,E,点是,PBC,的垂心，,PC,BE,.,又已知,AE,是平面,PBC,的垂线，,PC,AE,.,又,BE,AE,E,，,PC,面,ABE,.,PC,AB,.,又,PA,平面,ABC,，,PA,AB,.,PA,PC,P,，,AB,平面,PAC,.,AB,AC,，即,ABC,是直角三角形,(2)连接BE并延长，交PC于点H.,例,3,如图，正方形,ABCD,所在平面与平面四边形,ABEF,所在平面互相垂直，,ABE,是等腰直角三角形，,AB,AE,，,FA,FE,，,AEF,45.,(1),求证：,EF,平面,BCE,；,(2),设线段,CD,、,AE,的中点分别为,P,，,M,，求证：,PM,平面,BCE,.,例3 如图，正方形ABCD所在平面与平面四,思路点拨,(1),要证明,EF,平面,BCE,，只须,EF,BE,EF,BC,即可，由面面垂直的性质定理和,FEA,AEB,90,很容易证明,(2),要证明,PM,平面,BCE,，只须证明,PM,平行于平面,BCE,内的一条直线，取,BE,的中点,N,，易知,PM,CN,.,思路点拨,精解详析,(1),因为平面,ABEF,平面,ABCD,，,BC,平面,ABCD,，,BC,AB,，,平面,ABEF,平面,ABCD,AB,，所以,BC,平面,ABEF,.,所以,BC,EF,.,因为,ABE,为等腰直角三角形，,AB,AE,，所以,AEB,45.,又因为,AEF,45,，所以,FEB,90,，即,EF,BE,.,因为,BC,平面,BCE,，,BE,平面,BCE,，,BC,BE,B,，所以,EF,平面,BCE,.,精解详析(1)因为平面ABEF平面,一点通,线面平行和线面垂直是立体几何中经常考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直,(,平行,),时可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直,(,平行,),时考虑判定定理,一点通线面平行和线面垂直是立体几何中,5,(2011,南昌第一次模拟,),已知,、,是平面，,m,、,n,是直线，给出下列命题：,若,m,，,m,，则,；,若,m,，,n,，,m,，,n,，则,；,若,m,，,n,，,m,、,n,是异面直线，那么,n,与,相交；,若,m,，,n,m,，且,n,，,n,，则,n,且,n,.,其中正确命题的个数是,(,),A,1,B,2,C,3 D,4,5(2011南昌第一次模拟)已知、是平面，m、n,解：,由面面垂直的判定可知正确；中没有说明,m,与,n,的关系，故不正确；中,n,与,有可能平行，故不正确；由线面平行的判定定理可知正确,答案：,B,解：由面面垂直的判定可知正确；中没有说明m与n的关系，,6,在斜三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，侧面,ACC,1,A,1,平面,ABC,，,ACB,90.,(1),求证：,BC,AA,1,；,(2),若,M,，,N,是棱,BC,上的两个三等分点，求证：,A,1,N,平面,AB,1,M,.,证明：,(1),因为,ACB,90,，所以,AC,CB,，,又侧面,ACC,1,A,1,平面,ABC,，,且平面,ACC,1,A,1,平面,ABC,AC,，,BC,平面,ABC,，所以,BC,平面,ACC,1,A,1,，,又,AA,1,平面,ACC,1,A,1,，所以,BC,AA,1,.,6在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1,(2),连接,A,1,B,，交,AB,1,于点,O,，连接,MO,，,在,A,1,BN,中，,O,，,M,分别为,A,1,B,，,BN,的中点，所以,OM,A,1,N,.,又,OM,平面,AB,