,抓住,2,个考点,突破,4,个考向,揭秘,3,年高考,第,3,讲数学归纳法,【,2014,年高考会这样考,】,1,数学归纳法的原理及其步骤,2,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,.,第3讲数学归纳法【2014年高考会这样考】,考点梳理,在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤：,(1),证明,_,时命题成立；,(2),证明：如果,n,k,时命题成立，那么,_,时命题也成立,1,数学归纳法的定义,n,1,n,k,1,考点梳理1数学归纳法的定义n1nk1,我们有,(1)(2),作依据，根据,(1),，知,n,1,时命题成立，再根据,(2),知,n,1,1,2,时命题成立，又由,n,2,时命题成立，依据,(2),知,n,2,1,3,时命题成立这样延续下去，就可以知道对任何正整数,n,命题成立这种证明方法叫作数学归纳法,(1),证明当,n,取第一个值,n,0,(,例如,n,0,1,或,2,等,),时结论正确；,(2),假设当,n,k,(,k,N,，且,k,n,0,),时结论正确，证明当,n,k,1,时结论也正确,在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从,n,0,开始的所有正整数,n,都正确,2,步骤,我们有(1)(2)作依据，根据(1)，知n1时命题成立，再,一种表示,数学归纳法的框图表示,【助学,微博】,【助学微博】,两个防范,数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的,“,基础,”,，第二步是递推的,“,依据,”,，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：,(1),第一步验证,n,n,0,时，,n,0,不一定为,1,，要根据题目要求选择合适的起始值,(2),第二步中，归纳假设起着,“,已知条件,”,的作用，在证明,n,k,1,时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法第二步关键是,“,一凑假设，二凑结论,”,两个防范,三个注意,运用数学归纳法应注意以下三点：,(1),n,n,0,时成立，要弄清楚命题的含义,(2),由假设,n,k,成立证,n,k,1,时，要推导详实，并且一定要运用,n,k,成立的结论,(3),要注意,n,k,到,n,k,1,时增加的项数,三个注意,A,1 B,2 C,3 D,0,解析,边数最少的凸,n,边形是三角形,答案,C,考点自测,A1 B2 C3 D0考点自测,2,某个命题与自然数,n,有关，若,n,k,(,k,N,*,),时命题成立，那么可推得当,n,k,1,时该命题也成立，现已知,n,5,时，该命题不成立，那么可以推得,(,),A,n,6,时该命题不成立,B,n,6,时该命题成立,C,n,4,时该命题不成立,D,n,4,时该命题成立,解析,其逆否命题,“,若当,n,k,1,时该命题不成立，则当,n,k,时也不成立,”,为真，故,“,n,5,时不成立,”,“,n,4,时不成立,”,答案,C,2某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时命题成立，,3,用数学归纳法证明,1,2,3,(2,n,1),(,n,1)(2,n,1),时，从,n,k,到,n,k,1,，左边需增添的代数式是,(,),A,2,k,2 B,2,k,3,C,2,k,1 D,(2,k,2),(2,k,3),解析,当,n,k,时，左边是共有,2,k,1,个连续自然数相加，即,1,2,3,(2,k,1),，所以当,n,k,1,时，左边是共有,2,k,3,个连续自然数相加，即,1,2,3,(2,k,1),(2,k,2),(2,k,3),答案,D,3用数学归纳法证明123(2n1)(n1),4,用数学归纳法证明,3,4,n,1,5,2,n,1,(,n,N),能被,8,整除时，当,n,k,1,时，对于,3,4(,k,1),1,5,2(,k,1),1,可变形为,(,),A,563,4,k,1,25(3,4,k,1,5,2,k,1,),B,3,4,3,4,k,1,5,2,5,2,k,C,3,4,k,1,5,2,k,1,D,25(3,4,k,1,5,2,k,1,),解析,因为要使用归纳假设，必须将,3,4(,k,1),1,5,2(,k,1),1,分解为归纳假设和能被,8,整除的两部分所以应变形为,563,4,k,1,25(3,4,k,1,5,2,k,1,),答案,A,4用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整,数学归纳法-高考数学真题解析-高考数学总复习课件,【,例,1,】,(2012,天津,),已知,a,n,是等差数列，其前,n,项和为,S,n,，,b,n,是等比数列，且,a,1,b,1,2,，,a,4,b,4,27,，,S,4,b,4,10.,(1),求数列,a,n,与,b,n,的通项公式；,(2),记,T,n,a,n,b,1,a,n,1,b,2,a,1,b,n,，,n,N,*,，证明,T,n,12,2,a,n,10,b,n,(,n,N,*,),审题视点,(1),利用等差数列，等比数列的通项公式，求和公式建立方程组求解；,(2),可以以算代证，利用错位相减法求和，与自然数有关的问题也可以用数学归纳法证明,考向一用数学归纳法证明等式,【例1】(2012天津)已知an是等差数列，其前n项,(2),证明,法一,当,n,1,时，,T,1,12,a,1,b,1,12,16,，,2,a,1,10,b,1,16,，故等式成立；,假设当,n,k,时等式成立，,即,T,k,12,2,a,k,10,b,k,，,则当,n,k,1,时有,(2)证明法一当n1时，T112a1b112,T,k,1,a,k,1,b,1,a,k,b,2,a,k,1,b,3,a,1,b,k,1,a,k,1,b,1,q,(,a,k,b,1,a,k,1,b,2,a,1,b,k,),a,k,1,b,1,qT,k,a,k,1,b,1,q,(,2,a,k,10,b,k,12),2,a,k,1,4(,a,k,1,3),10,b,k,1,24,2,a,k,1,10,b,k,1,12,，,即,T,k,1,12,2,a,k,1,10,b,k,1,.,因此,n,k,1,时等式也成立,由可知，对任意,n,N,*,，,T,n,12,2,a,n,10,b,n,成立,Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk,数学归纳法-高考数学真题解析-高考数学总复习课件,(1),用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值,n,0,是几；,(2),由,n,k,到,n,k,1,时，除等式两边变化的项外还要充分利用,n,k,时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明,(1)用数学归纳法证明等式其关键点在于,数学归纳法-高考数学真题解析-高考数学总复习课件,数学归纳法-高考数学真题解析-高考数学总复习课件,【,例,2,】是否存在正整数,m,使得,f,(,n,),(2,n,7)3,n,9,对任意自然数,n,都能被,m,整除，若存在，求出最大的,m,的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由,审题视点,观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项,考向二用数学归纳法证明整除问题,【例2】是否存在正整数m使得f(n)(2n7)3n,解,由,f,(,n,),(2,n,7)3,n,9,得，,f,(1),36,，,f,(2),336,，,f,(3),1036,，,f,(4),3436,，由此猜想：,m,36.,下面用数学归纳法证明：,(1),当,n,1,时，显然成立；,(2),假设,n,k,(,k,N,*,且,k,1),时，,f,(,k,),能被,36,整除，即,f,(,k,),(2,k,7)3,k,9,能被,36,整除；当,n,k,1,时，,2(,k,1),73,k,1,9,(2,k,7)3,k,1,27,27,23,k,1,9,3(2,k,7)3,k,9,18(3,k,1,1),，,由于,3,k,1,1,是,2,的倍数，故,18(3,k,1,1),能被,36,整除，这就是说，当,n,k,1,时，,f,(,n,),也能被,36,整除,由,(1)(2),可知对一切正整数,n,都有,f,(,n,),(2,n,7)3,n,9,能被,36,整除，,m,的最大值为,36.,解由f(n)(2n7)3n9得，f(1)36，f,应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类：一是整除数，二是整除代数式这两类证明最关键的问题是,“,配凑,”,要证的式子,(,或是叫做,“,提公因式,”),，即当,n,k,1,时，将,n,k,时假设的式子提出来，再变形，可证,应用数学归纳法证明整除性问题主要分为两类,【,训练,2,】,(2013,南京一模,),已知数列,a,n,满足,a,1,0,，,a,2,1,，当,n,N,*,时，,a,n,2,a,n,1,a,n,.,求证：数列,a,n,的第,4,m,1,项,(,m,N,*,),能被,3,整除,证明,(1),当,m,1,时，,a,4,m,1,a,5,a,4,a,3,(,a,3,a,2,),(,a,2,a,1,),(,a,2,a,1,),2,a,2,a,1,3,a,2,2,a,1,3,0,3.,即当,m,1,时，第,4,m,1,项能被,3,整除故命题成立,【训练2】(2013南京一模)已知数列an满足a1,(2),假设当,m,k,时，,a,4,k,1,能被,3,整除，则当,m,k,1,时，,a,4(,k,1),1,a,4,k,5,a,4,k,4,a,4,k,3,2,a,4,k,3,a,4,k,2,2(,a,4,k,2,a,4,k,1,),a,4,k,2,3,a,4,k,2,2,a,4,k,1,.,显然，,3,a,4,k,2,能被,3,整除，又由假设知,a,4,k,1,能被,3,整除,3,a,4,k,2,2,a,4,k,1,能被,3,整除,即当,m,k,1,时，,a,4(,k,1),1,也能被,3,整除命题也成立,由,(1),和,(2),知，对于,n,N,*,，数列,a,n,中的第,4,m,1,项能被,3,除,(2)假设当mk时，a4k1能被3整除，则当mk1时,【,例,3,】,(2012,全国,),函数,f,(,x,),x,2,2,x,3.,定义数列,x,n,如下：,x,1,2,，,x,n,1,是过两点,P,(4,5),、,Q,n,(,x,n,，,f,(,x,n,),的直线,PQ,n,与,x,轴交点的横坐标,(1),证明：,2,x,n,x,n,1,0),，其中,r,为有理数，且,0,r,1,，求,f,(,x,),的最小值；,(2),试用,(1),的结果证明如下命题：,设,a,1,0,，,a,2,0,，,b,1,，,b,2,为正有理数，若,b,1,b,2,1,，,则,a,1,b,1,a,2,b,2,a,1,b,1,a,2,b,2,；,(3),请将,(2),中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题,注：当,为正有理数时，有求导公式,(,x,),x,1,.,【真题探究】(本小题满分14分)(2012湖北)(1),教你审题,(1),求函数最值可考虑先利用导数判断函数单调性，然后再求最值，,(2),对于不等式的证明要注意利用第,(1),问的结论进行突破；,(3),本问数学归纳法的运用相对而言难度高，运算量大，在归纳证明时一要细心运算，二要注意假设条件的恰当运用,规范解答,(1),f,(,x,),r,rx,r,1,r,(1,x,r,1,),，令,f,(,x,),0,，解得,x,1.(1,分,),当,0,x,1,时，,f,(,x,)1,时，,f,(,x,)0,，所以,f,(,x,),在,(1,，,),内是增函数,(3,分,),故函数,f,(,x,),在,x,1,处取得最小值,f,(1),0.(4,分,),教你审题(1)求函数最值可考虑先利用导数判断函数单调性,数学归纳法-高考数学真题解析-高考数学总复习课件,(3)(2),中命题的推广形式为：,设,a,1,，,a,2,，,，,a,n,为非负实数，,b,1,，,b,2,，,，,b,n,为正有理数,若,b,1,b,2,b,n,1,，则,a,1,b,1,a,2,b,