,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,3.3,调和函数与解析函数,一 调和函数,二 解析函数与调和函数,三 解析函数与,共轭调和函数,四 例题练习,五,作业习题,一 调和函数,定义,如果二元实函数,u,(,x,y,),在区域,D,内有二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯,(Laplace),方程,:,则称,u,(,x,y,),为区域,D,内的调和函数。,例如：,f,(,x,y,)=,x,2,-2,xy,2,不是调和函数,f,(,x,y,)=,e,x,cos,y,是一个调和函数,二 解析函数与调和函数,定理,证明：设,f,(,z,)=,u,+i,v,在区域,D,内解析,满足,C.-R.,方程,得,同理,在,D,内有,即,u,(,x,y,),及,v,(,x,y,),都是,D,内的调和函数,三 解析函数与共轭调和函数,Question,：,解析函数的充要条件是,C-R,方程，描述,u,，,v,之间的关系。,而调和函数只是,u,，,v,各自的性质，并未描述相互间的关系。,Answer:NO,N0,N0!,共轭调和函数,定义：调和函数,u(x,y),v(x,y),，使满足,u+iv,是解析函数，则称,v,是,u,的,共轭调和函数,思考：如果,v,是,u,的共轭调和函数，那么,u,也是,v,的共轭调和函数吗？,思考：如果,u+iv,是解析函数，那么,v+iu,也是解析函数吗？,四 例题练习,问题：,（,a1,）验证函数,u(x,y),是调和函数，,（,a2,）求调和函数,v(x,y),，使,u+iv,是解析函数。,（,b1,）验证函数,v(x,y),是调和函数，,（,b2,）求调和函数,u(x,y),，使,u+iv,是解析函数。,这是相似的问题，其中（,a2,）问题的提法也可以：求,u(x,y),的共轭调和函数,v(x,y),。,例,1,验证,u(x,y)=y,3,-,3,x,2,y,是,z,平面上的调和函数，并求,v(x,y),使,f(z)=u+iv,是,解析函数。,解：,所以,u,是调和函数，下面求,v,函数,由,C-R,方程得,方法一：第二类曲线线积分法：,方法二：偏积分法：,方法三：复变函数不定积分法：,五 作业习题,第三章习题,29,30,31,题,完了？谁完了？,积分学，学完了,Class is over,祝你下课！,