单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,2,.,利用极限的运算法则求极限；,1.,用定义证明极限式；,3,.,利用极限存在准则证明极限的存在性；,4,.,用夹逼定理求,极限,；,5.,利用“无穷小量与有界变量的乘积是,无穷小量”；,6.,利用两个重要的极限；,7.,利用“洛必达法则”，导数定义，定积分定义等,求极限,.,当,无穷小量,定义,若,时,函数,则称函数,例如,:,函数,当,时为无穷小,量,;,函数,时为无穷小,量,;,函数,当,为,时的,无穷小量,.,时为无穷小,量,.,例,1.,求函数 的定义域,.,(,(0,2,),例,2.,已知,解,关键在于求出,f(u),的表达式,.,令,三、综合例题,例,3,设,求,解,:,例,4,下列各种关系式表示的,y,是否为,x,的函数,?,为什么,?,不是,是,不是,提示,:,(2),例,5.,求极限：,解,例,6,求极限,解,则有,若,例,7,因为,例,8.,求极限,解,本题可分子，分母同除以相同的因式后，再求极限,.,例,9.,求极限,解,采用与通分相反的变形法,-,分解为简单分式（或部分分式），再用正、负相抵消变简单,.,思考题 求下列极限：,(1),（,2,）,例,11.,求极限,解,例,12,求,解,先有理化，后求极限,例,13,已知,解,这类逆向思维的问题，需用分析法解之,思考题,设,解,:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式,得,可见,是多项式,且,求,故,例,14,求,解,找出两边夹的式子，用夹逼准则求之,则有,即,例,15,求,解,:,令,则,利用夹逼准则可知,思考题,解,这类由递推式表示数列通项的极限，须先用单调有界法则证明极限存在；然后才能对等式两边取极限，并用解方程的办 法去求极限,证,并求出该数列的极限,.,对等式两边取极限，得,解方程，得,a=2,或,a=-1(,舍去）,例,16,例,17,又,f(0)=a,要使,f(x),在,x=0,处连续，由函数在一点连续的定义，有,即就是,a=b.,解,求分段函数分段点处的连续性，要考察左、右极限及分,段点的函数值,.,例,18,证,由零点定理，,即方程,f(x)=0,至少有一个实根，,f(x)=0,的两个根，,故任何奇次方程,至少有一个实根,.,例,19,证,两式相加,由闭区间上中间值存在一点,例,20,解,当,x=1,时,f(x),无定义,且,习题解答,习题,1-3,证,根据数列极限定义，,虽有,反例,：,要证明：,证,总有,习题,1-4,解,(1),(2),并求出该数列的极限,.,证,对等式两边取极限，得,解方程，得,a=2,或,a=-1(,舍去）,习题 解答：习题,1-3,9.,证明,证,在前面讨论 的有界性时已经证明,于是,下面证明,（其中,k,为为任意固定的自然数）,若,k,为任意固定正数，则当,nk,时，有,取极限，得,将,k,换成,n,得,于是,结合（*）得所证明,.,