单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面上曲线积分与路径无关的等价条件,一.平面上曲线积分与路径无关的概念,二.平面上曲线积分与路径无关的等价条件,三.平面上曲线积分与路径无关的应用,一.平面上曲线积分与路径无关的概念,引例.,解:,在(1),(2)和(3)的各自条件下,注:这是偶然的还是必然的?,定义:,D,y,x,o,B,A,例32.1,证明,证明:,二.平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理:,说明:,方法(i),或,三.平面上曲线积分与路径无关的应用,方法(ii),例32.2,解:,例32.3,解,例32.5,例32.6,解:,令,则有,可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,取圆弧,思考:,积分路径是否可以取,为什么？,三.小结,注:,对坐标的曲线积分计算方法,备用题:,例32.7,解:,例32.8,1.设,且都取正向,问下列计算是否正确?,提示:,设,例32.9,解:,例32.10,质点,M,沿着以,AB,为直径的半圆,从,A,(1,2)运动到,点,B,(3,4),到原点的距离,锐角,其方向垂直于,OM,且与,y,轴正向夹角为,求变力,F,对质点,M,所作的功.,F,的大小,等于点,M,在此过程中受力,F,作用,解:,