单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四节 有理函数的积分,一、有理函数的积分,定义：,这有理函数是,真分式,；,这有理函数是,假分式,；,其中,m,、,n,都是非负整数；,都是实数，并且,几种简单分式的积分,例2 求,解,（1）分母中若有因式 ，,有理真分式化为部分分式之和的步骤：,（2）分母中若有 ，,则分项后对应于,1.将分母分解因式，,其中 都是常数,2.按下列规律分项,则分项后对应于,例3 求,解,例4 求,解,代入特殊来确定系数,取,取,取,并将 值代入,整理得,解,例5 求积分,练习 求积分,几种简单分式的积分,令,以上四类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论:有理函数的原函数都是初等函数.,由三角函数和常数,二、三角函数有理式的积分,经过有限次四则运算,构成的函数记为,令,（万能置换公式）,例6,求积分,解,由万能置换公式,例7,求积分,解（一）,解（二）,结论,万能置换不一定是最佳方法,在三角有理式的积分计算中，应在其它手段与用万能置换中择优选用.,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例8,求积分,解,令,三、简单无理函数的积分,例9,求积分,解,令,说明,无理函数去根号时,取根指数的,最小公倍数,.,