单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论与数理统计,部分难点问题解析,设,A,1,A,2,A,n,为样本空间,S,的一个完备事件组,,B,为一个随机事件,.,若,P(,A,i,)0,i,=1,2,n,则成立:,第一章 随机事件及其概率,全概率公式 与,贝叶斯,公式,全概率公式,P(,B,)=P(,A,1,)P(B|,A,1,)+P(,A,2,)P(B|,A,2,)+P(,A,n,)P(B|,A,n,);,贝叶斯公式,P(,A,m,|,B,)=,.,P(,A,m,),P(,B,|,A,m,),P(,B,),难点类型:利用两公式求概率,.,例,1,由三台机床加工一大批零件,加工比例分别为,5:3:2,,合格率分别为,0.94,0.90,0.95,,在全部产品中随机抽取一个,(1),求此零件合格的概率(产品合格率);,(2),已知抽到的是合格品,求此零件为,1,号机床加工的概率,.,解 设,A,i,:,零件由,i,号加工,(,i,=1,2,3),B,:,抽到零件合格,.,因此,P(,A,1,)=0.5,P(,A,2,)=0.3,P(,A,3,)=0.2,;,P(,B,|,A,1,)=0.94,P(,B,|,A,2,)=0.90,P(,B,|,A,3,)=0.95,.,(2),由贝叶斯公式,,(1),由全概率公式,,P(,B,)=,P(,A,1,)P(,B,|,A,1,)+P(,A,2,)P(,B,|,A,2,)+P(,A,3,)P(,B,|,A,3,)=0.47+0.27+0.19=0.93,;,P(,A,1,)P(,B,|,A,1,)0.47,P(,B,)0.93,P(,A,1,|,B,)=,=0.505.,例,2,盒中有,9,新、,6,旧共,15,只乒乓球,上午比赛时从盒中任取两球,用后放回,下午比赛时再从盒中任取两球,.,(1),求下午取两球都为新球的概率;,(2),已知下午取两球都为新球,求上午取两球为,1,新,1,旧的概率,.,解,A,i,:,上午取两球有,i,个新球,(,i,=0,1,2),B,:,下午取两新球,.,因此,(2),由贝叶斯公式,,(1)P(,B,)=P(,A,0,)P(,B,|,A,0,)+P(,A,1,)P(,B,|,A,1,)+P(,A,2,)P(,B,|,A,2,)=0.2547,P(,A,1,)P(,B,|,A,1,),P(,B,),P(,A,1,|,B,)=,=0.5385.,例,3 (,产品检验问题,),要验收,100,件产品的方法是:抽取,3,件产品,若测出次品就拒绝接收,.,已知一件次品被测出的概率为,0.95,,一件合格品被误测为次品的概率是,0.01.,若这,100,件产品中恰好有,4,件次品,求这批,100,件产品被接受的概率,.,解 设,A,:,产品被接受(抽到的,3,件产品,都被认为是合格,的),.,B,k,:,抽到的,3,件产品恰有,k,个次品,(,k,=0,1,2,3).,其中,P(,B,k,),服从超几何分布,:,C,4,k,C,96,3,k,C,100,3,P(,B,k,)=,,,P(,A|B,k,)=0.05,k,0.99,3,k,(,k,=0,1,2,3).,由全概率公式,这批产品被接受的概率是,P(,A,)=,k,=0,3,P(,B,k,)P(,A|B,k,),=,k,=0,3,0.05,k,0.99,3,k,0.8629,.,C,4,k,C,96,3,k,C,100,3,第二章,随机变量及其分布,连续型随机变量函数的分布,难点类型,P,Y,y,=,P,g,(,X,),y,=,P,X,g,1,(,y,),,,解法,即,两端求导数,F,Y,(,y,)=,F,X,(,g,1,(,y,),,,f,Y,(,y,)=,f,X,(,g,1,(,y,),g,1,(,y,),.,已知,X,的密度函数,f,X,(,x,),,求,Y,=,g,(,X,),的密度函数,.,例,1,已知,X,具有密度函数,O,x,f,(,x,),4,1/2,求,Y,=2,X,+8,的密度函数,.,f,X,(,x,)=,,,0,x,4,,,0,,其 它,.,x,8,解,即,F,Y,(,y,)=,F,X,(,).,y,8,2,两端求导得,y,8,2,y,8,2,f,Y,(,y,)=,f,X,(,)(),=,f,X,().,y,8,2,1,2,y,8,2,P,Y,y,=P 2,X,+8,y,=P,X,,,P,X,例,2,设随机变量,X,的密度函数为,,求,Y,=1,e,2,X,的密度函数,f,Y,(,y,).,解,即,F,Y,(,y,)=,F,X,(,).,两端求导得,P,Y,y,=,P,1,e,2,X,y,=,即,Y,U,(0,1).,例,3,证明,若,XN,(0,1),即,X,具有概率密度,则,Y,=,X,2,的概率密度为,第三章,多维,随机变量及其分布,二维连续型随机变量及其概率密度,1.,已知,(,X,Y,),的密度函数,f,(,x,y,),,求其分布函数,F,(,x,y,).,其中区域,D,为,:,u,x,v,0,存在,则有,中心极限定理,定理,(,棣莫弗,-,拉普拉斯定理,),若,X,n,b,(,n,p,),则有,.,.,.,或者,解,易知,,E,(,V,k,)=5,D,(,V,k,)=100/12,由独立同分布中心极限定理,有,于是有,P,V,255=,例,1,某仪器同时收到,48,个独立的噪音电压,V,k,U,(0,10)(,k,=1,48).,记,V=V,1,+V,2,+,+V,48,.,求,P,V,255,的近似值,.,1,(0.5),=,0.3085.,以,X,记,90000,次海浪冲击时纵摇角大于,3,的次数,则,X,b,(90000,1/3).,例,2,一船舶在海上航行,已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于,3,的概率为,p,=1/3,,若船舶遭受,90000,次海浪冲击,问其中有,2950030500,次纵摇角大于,3,的概率是多少?,解,由棣莫弗,-,拉普拉斯定理,近似地有,P,29500,X,30500=,=0.9996.,(1),以,X,k,记第,k,个学生,来参加家长会的人数,则有,例,3,设每个学生无家长、有,1,名家长、有,2,名家长来参加家长会的概率分别为,0.05,、,0.8,、,0.15.,若学校共有学生,400,名,且各学生参加会议的家长数独立同分布,.,求下列概率:,(1),参加家长会的家长数超过,450,;,(2),有,1,名家长来参加会议的学生数不超过,340.,解,由独立同分布定理,.,参加家长会的家长数,X,k,0 1 2,p,k,0.05 0.8 0.15,可求得,,E,(,X,k,)=1.1,D,(,X,k,)=0.19,k,=1,2,400.,P,X,450,1,(1.147)=0.1357.,(2),若以,Y,表示有,1,名家长来参加会议的学生数,则,Y,b,(400,0.8),,由棣莫弗,拉普拉斯定理得,P,Y,450,(2.5)=0.9938.,例,3,设每个学生无家长、有,1,名家长、有,2,名家长来参加家长会的概率分别为,0.05,、,0.8,、,0.15.,若学校共有学生,400,名,且各学生参加会议的家长数独立同分布,.,求下列概率:,(1),参加家长会的家长数超过,450,;,(2),有,1,名家长来参加会议的学生数不超过,340.,解,点估计的常用方法,第六章 参数估计,最大似然估计,由总体,X,的概率密度,f,(,x,),(,或分布律,P,X=x,i,),建立似然函数,或,求似然函数,L,(,x,1,x,2,x,n,;,),的最大值,.,例,1,设,X,b,(1,p,).,X,1,X,2,X,n,是来自,X,的一个样本,试求参数,p,的,最大似然估计量,.,解,X,的分布律为,P,X,=,x,=,p,x,(1,p,),1,x,,,x,=0,1.,设,x,1,x,n,为样本值,.,似然函数为,两边取对数,,求导数,令其为零,得,解得,p,的,最大似然估计值为,所以,,p,的,最大似然估计量为,例,2,设,X,N,(,2,).,x,1,x,2,x,n,是来自,X,的一个样本值,试求参数,2,的,最大似然估计量,.,解,X,的概率密度为,故似然函数为,等式两边取对数,得,令其两个偏导数为零,得方程组,解得,2,的最大似然估计值分别为,所以,,2,的,最大似然估计量分别为,现测得一组容量为,8,的样本观察值为,1,3,0,2,3,3,1,3,,试求,p,的最大似然估计值,.,例,2,设总体,X,的分布律为,其中,p,(0,p,1/2),为参数,,解,似然函数,L,(,p,)=,=2,p,(1,p,),2,(1,2,p,),4,(,p,2,),2,X,0,1,2,3,p,i,p,2,2,p,(1,p,),p,2,1,2,p,取对数,ln,L,(,p,)=2ln2,p,+,ln(1,p,)+4 ln(1,2,p,)+4ln,p,,,令,ln,L,(,p,),=,解得,舍去,所以,p,的极大似然估计值为,