,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,一、惯性定理,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标,准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，,显然，,其标准形一般来说是不唯一的,，但标准形,中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究,二次型的标准形所具有的性质,第三节,正定二次型与正定矩阵,称为,且标准形中正系数个数,负惯性指数,，,二、正,(,负,),定二次型的概念,为,正定二次型,为,负定二次型,例如,为,不定二次型,证明,充分性：,故,三、正,(,负,),定二次型的判别,必要性：,故,推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：,的特征值全为正,推论对称矩阵 为负定的充分必要条件是：,的特征值全为负,定理,3,充分性,必要性,若,A,为正定矩阵,，,则,A,的特征值全大于零且存在,正交矩阵,C,，,使得,这个定理称为,霍尔维茨定理,定理,4,对称矩阵,A,为正定的充分必要条件是：,A,的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主,子式为负，而偶数阶主子式为正，即,二次型正定,的充要条件,(2),正惯性指数为,n,；,(3),A,的特征值全部大于零；,(4),A,与,I,合同；,n,元实二次型 正定,(,或,n,阶,实对称阵,A,正定,),的,充要条件,是下列条件之一：,二次型正定,的必要条件,(5),A,的各阶主子式为正,.,例,1,例,2,判别二次型,是否正定,.,解,二次型的矩阵为,用,特征值判别法,.,故此二次型为正定二次型,.,即知,A,是正定矩阵,，,例,3,判别二次型,是否正定,.,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的,.,例,4,判别二次型,的正定性,.,解,例,5,（矩阵正定的,必要,条件）,正定矩阵具有以下一些简单性质,故 均,为正定阵。,证明 均,为正定阵。,已知,A,、,B,为正定阵，,M,为可逆阵，,例,6,首先,均,为对称阵。,证,对于任意的 有,且,即,A,对称且,A,与,I,合同，,故,A,为正定矩阵。,若存在可逆对称矩阵,B,，使得,使得,证明,A,为正定矩阵的充要条件是存在可逆对称矩阵,B,，,例,7,充分性,证,则,必要性,若,A,为正定矩阵，则,A,的特征值全大于零且存在,其中，,正交矩阵,C,，使得,满足 且,2.,正定二次型,（,正定矩阵,）的判别方法：,(1),定义法,；,(2),顺次主子式判别法,；,(3),特征值判别法,.,四、小结,1.,正定二次型的概念，正定二次型与正定,矩阵的区别与联系,3.,根据正定二次型的判别方法，可以得到,负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大,家自己推导,测试题,一、填空题,(,每小题,4,分，共,32,分,),二、计算题（共,40,分）,三、证明题（共,20,分）,四、（,8,分）设二次型,经正交变换 化成,测试题答案,