单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,垂径定理,垂径定理,？,1,、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？,圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴,.,2,、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？,圆是中心对称图形，圆心是对称中心,一、温故知新,？1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？圆是轴对称图形，经过圆,问题：你知道赵州桥吗？它是,1300,多年前我国隋代建造的石拱桥，,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,，,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2m,，,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少,？,问题情境,问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,（,1,）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,（,2,）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,？,思,考,O,A,B,C,D,E,活 动 一,（,1,）是轴对称图形直径,CD,所在的直线是它的对称轴,（,2,）线段：,AE=BE,弧：，,把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧的两个半圆重合，,点,A,与点,B,重合，,AE,与,BE,重合，,和,重合，,和,重合,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E,AM=BM,，,由 ,CD,是直径,CDAB,可推得,AD=BD.,AC=BC,，,几何语言表达,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,AM=BM，由 CD是直径 CDAB可推得,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,不是,O,E,D,C,A,B,深化：,下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是不是OEDCAB深化,直径平分弦，并且,平分及,O,A,B,C,D,E,即,，,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,直径平分弦，并且OABCDE即,垂径定理的几个基本图形：,CD,过圆心,CDAB,于,E,AE=BE,AC=,BC,AD=,BD,垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CDAB于EAE=BEA,思考：,平分弦（不是直径）的直径有什么性质？,思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？,如图,:,AB是O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM,垂径定理的,推论,O,A,B,C,D,M,连接,OA,，,OB,，,则,OA=OB.,在,OAM,和,OBM,中，,OA=OB,，,OM=OM,，,AM=BM,OAMOBM.,AMO=,BMO.,CDAB,O,关于直径,CD,对称，,当圆沿着直径,CD,对折时，点,A,与点,B,重合，,AC,和,BC,重合，,AD,和,BD,重合,.,AC=BC,，,AD=BD.,平分,弦（不是直径）的直径,垂直,于弦，并且,平分,弦所对的两条,弧,.,如图:AB是O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM垂径,（,1,）,（,4,）,（,5,）,（,2,）,（,3,）,（,1,）,（,5,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,讨论,（,1,）,（,3,）,（,2,）,（,4,）,（,5,）,（,1,）,（,4,）,（,2,）,（,3,）,（,5,）,（,1,）过圆心（,2,）垂直于弦 （,3,）平分弦 （,4,）平分弦所对优弧（,5,）平分弦所对的劣弧,（,3,）,（,5,）,（,3,）,（,4,）,（,1,）,（,2,）,（,5,）,（,2,）,（,4,）,（,1,）,（,3,）,（,5,）,（,2,）,（,5,）,（,1,）,（,3,）,（,4,）,（,1,）,（,2,）,（,4,）,（,4,）,（,5,）,（,1,）,（,2,）,（,3,）,O,A,B,C,D,M,每条推论如何用语言表示？,（1）（2）（1）（2）讨论（1）（2）（1）（2）（1）过,（,1,）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,（,2,）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,（,3,）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,（,4,）,（,5,）,（,6,）,（,7,）,（,8,）,（,9,）,九条推论,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,.,如果具备,（,1,）过圆心 （,2,）垂直于弦 （,3,）平分弦,（,4,）平分弦所对的优弧 （,5,）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,结论,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备（1,一、判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，,必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对,的两条弧分别三等分,O,A,B,C,D,M,一、判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦,3,半径为,2cm,的圆中，过半径中点且,垂直于这条半径的弦长是,.,8cm,A,B,O,E,A,B,O,E,O,A,B,E,1,半径为,4cm,的,O,中，弦,AB=4cm,，,那么圆心,O,到弦,AB,的距离是,.,2,O,的直径为,10cm,，圆心,O,到弦,AB,的 距离为,3cm,，则弦,AB,的长是,.,二、填空：,3半径为2cm的圆中，过半径中点且8cmABOEABOEO,O,A,B,C,D,1.,两条弦在圆心的同侧,O,A,B,C,D,2.,两条弦在圆心的两侧,4,、,O,的半径为,10cm,，弦,ABCD,，,AB=16,，,CD=12,，则,AB,、,CD,间的,距离是,_,.,2cm,或,14cm,E,E,F,OABCD1.两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆,A,B,O,E,D,油的最大深度,ED=OD,OE=200(mm),或者油的最大深度,ED=OD+OE=450(mm).,(1),在直径为,650mm,的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽,AB=600mm,，求油的最大深度,.,OE=125(mm),(2),B,A,O,E,D,解：,ABOED油的最大深度ED=ODOE=200(mm)或者油,练习,练习,垂径定理ppt课件,1,如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8,cm,，圆心,O,到,AB,的距离为,3,cm,，求,O,的半径,O,A,B,E,再来！你行吗？,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为,2,：已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点,.,求证：,AC,BD.,证明：过,O,作,OEAB,，垂足为,E,，,则,AE,BE,，,CE,DE.,AE,CE,BE,DE.,所以，,AC,BD,E,.,A,C,D,B,O,只需从圆心作一条与弦垂直的线段,.,就可以利用垂径定理来解决有关问题了,.,2：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小,3,、已知：,O,中弦,ABCD.,求证：,AC,BD,证明：作直径,MNAB.,ABCD,，,MNCD.,则,AM,BM,，,CM,DM,（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）,AM,CM,BM,DM,AC,BD,.,M,C,D,A,B,O,N,夹在两条平行弦间的弧相等,.,你能用一句话概括这个结论吗？,3、已知：O中弦ABCD.证明：作直径MNAB.,小结,:,解决有关弦的问题，经常需要过圆心作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件,.,.,C,D,A,B,O,M,N,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,C,小结:解决有关弦的问题，经常需要过圆心作弦的,问题：你知道赵州桥吗？它是,1300,多年前我国隋代建造的石拱桥，,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,，,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2m,，,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少,？,问题情境,问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱,解得：,R,27,9,（,m,）,B,O,D,A,C,R,解决求赵州桥拱半径的问题,在,Rt,OAD,中，由勾股定理，得,即,R,2,=18.7,2,+,（,R,7.2,）,2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9,m.,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,AB,=37.4,，,CD,=7.2,，,OD=OC,CD,=,R,7.2,解：因为,如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为,O,，半径为,R,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与,AB,相交于点,D,，根据前面的结论，,D,是,AB,的中点，,C,是 的中点，,CD,就是拱高,实践应用,7.2,18.7,解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题,体会,.,分享,说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！,体会.分享说出你这节课的收获和体验，让大家与你一起分享！,圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,.,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧,.,垂径定理,:,在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为,解直角三角形,的问题,.,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,.,如果具备,（,1,）过圆心 （,2,）垂直于弦 （,3,）平分弦,（,4,）平分弦所对的优弧 （,5,）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,六、知识盘点,圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.垂直于弦,