单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小学奥数专题,最 值,宗煌（KYO）,小学奥数专题最 值宗煌（KYO）,【最小值问题】,例,1,外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距,5000,米，乙丙相距,8000,米，丙丁相距,4000,米，那么至少要增加,_,位民警。,【最小值问题】例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙,讲析：如图,5.91,，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有,7,位民警。他们将上面的线段分为了,2,个,2500,米，,2,个,4000,米，,2,个,2000,米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将,2500,、,4000,、,2000,分成尽可能长的同样长的小路。,由于,2500,、,4000,、,2000,的最大公约数是,500,，所以，整段路最少需要的民警数是（,5000,8000,4000,）,500,1=35,（名）。,讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处,例,2,在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在,A,、,B,、,C,的位置上，如图,5.92,所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）,例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上,讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等,。,我们可将正方体表面展开，如图,5.93,，则,A,、,B,、,C,三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点,O,，使,O,到这三点的距离相等且最短。,所以，连接,A,和,C,，它与正方体的一条棱交于,O,；再连接,OB,，不难得出,AO=OC=OB,。,故，,O,点即为三只蚂蚁会面之处。,讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，,【最大值问题】,例,1,有三条线段,a,、,b,、,c,，并且,a,b,c,。判断：图,5.94,的三个梯形中，第几个图形面积最大？,（全国第二届“华杯赛”初赛试题）,【最大值问题】例1 有三条线段a、b、c，并且abc。判,下图中的一个长方形纸板每个角都被剪掉了一个小长方形。如果被切掉的小长方形的,8,对对边的长度分别是一个,1,，四个,2,，两个,3,和一个,4,，那么纸板剩下部分的面积最大是多少？,解析：大减,4,小,下图中的一个长方形纸板每个角都被剪掉了一个小长方形。如果被切,讲析：三个图的面积分别是：,三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（,a,b,c,）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（,a,b,）,c,这组数的值最接近。,故图（,3,）的面积最大。,讲析：三个图的面积分别是：,例题,2,牧羊人用,15,段每段长,2,米的篱笆，一面靠墙围成一个长方形羊圈，则最大面积是（ ）平方米。,A.100 B.108 C.112 D.122,试数方法：由中间试数，因为边长相等时，正方形面积最大。所以由中到边试,C,把一块长,90,厘米，宽,42,厘米的长方形纸板恰好无剩余地剪成边长都是整数厘米，面积都相等的小正方形纸片，最少能剪出（ ）块，这种剪法剪成的所有正方形纸片的周长之和是（ ）厘米。,例题2 牧羊人用15段每段长2米的篱笆，一面靠墙围成一个长,如下图所示，某小区花园的道路由一个长,480,米，宽,200,米的的长方形，一个边长为,260,米的菱形和十字交叉的两条道路组成。一天，王大爷从,A,出进入花园，走遍花园的所有道路并从,A,处离开。如果他每分钟走,60,米，那么他从进入花园到走出花园最少要（ ）分钟。,A,解析：（,480+200,）,3+2606,=2040+1560,=3600,360060=60(,分钟,),如下图所示，某小区花园的道路由一个长480米，宽200米的的,例,2,某商店有一天，估计将进货单价为,90,元的某商品,100,元售出后，能卖出,500,个。已知这种商品每个,涨价,1,元，其销售量就减少,10,个。为了使这一天能赚,得更多利润，售价应定为每个,_,元。,（台北市数学竞赛试题）,例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品,讲析：因为按每个,100,元出售，能卖出,500,个，每个涨价,1,元，其销量减少,10,个，所以，这种商品按单价,90,元进货，共进了,600,个。,现把,600,个商品按每份,10,个，可分成,60,份。因每个涨价,1,元，销量就减少,1,份（即,10,个）；相反，每个减价,1,元，销量就增加,1,份。,所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为,60,），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把,60,分为两个,30,时，即每个涨价,30,元，卖出,30,份，此时有最大的利润。,因此，每个售价应定为,90,30=120,（元）时，这一天能获得最大利润,。,讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，,例题,1,A,B,都是整数，,A,大于,B,，且,AB=2009,，那么,A-B,的最大值为（ ），最小值为（ ）,解析：因为,AB,积个位为,9,，所以,A,和,B,两个数个位为,1,，,9,或者,3,，,3,。,所以最大时选,20091,A=2009,，,B=1.A-B=2009-1=2008,当两个数差最小时，必须两个数尽量接近，,4149,，,4353,试,4149=2009,所以,A=49,，,B=41.A-B=49-41=8,例题1 A,B都是整数，A大于B，且AB=2009，,某商店出售啤酒，规定每四个空瓶可以换一瓶啤酒，小明家买了,24,瓶啤酒，他一家前后最多能喝到（ ）瓶啤酒。,有一个奇妙的国家叫,一,0,国。,”,他们只有,1,和,0,两个数字。所以，当遇到比较大的数时，他们就要用好多个,1,和,0,组合起来相加来表示。比如说：,12,可以表示成三个数的和,10+1+1,，或者,11+1.,那么在,“,一,0,国,”,，,20120204,最少要用（ ）个数相加起来表示。,某商店出售啤酒，规定每四个空瓶可以换一瓶啤酒，小明家买了24,最 值 规 律,【积最大的规律】,（,1,）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是,如果,a1+a2+an=b,（,b,为一常数），,那么，当,a1=a2=an,时，,a1a2an,有最大值。,由“积最大规律”，可以推出以下的结论：,结论,1,所有周长相等的,n,边形，以正,n,边形（各角相等，各边也相等的,n,边形）的面积为最大。,结论,2,在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大,（,2,）将给定的自然数,N,，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是,2,或,3,，并且,2,至多为两个时，这些自然数的积最大。,最 值 规 律【积最大的规律】（1）多个数的和一定（为,【,和最小的规律,】,几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，就是如果,a1a2an=c,（,c,为常数），,那么，当,a1=a2=an,时，,a1+a2+an,有最小值。,推论 由“和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。,【面积变化规律】,在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。,推论 由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：,在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。,【体积变化规律】,在表面积一定的正多面体（各面为正,n,边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。,推论 由这一体积变化规律，可推出如下结论：,在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。,【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相,【,排序不等式,】,对于两个有序数组：,a1a2an,及,b1b2bn,，,则,a1b1+a2b2+anb,抇,n,（同序）,Ta1b,抇,1+a2b,抇,2+anb,抇,n,（乱序）,a1b,n+a2bn-1+anb1,（倒序）（其中,b,抇,1,、,b,抇,2,、,、,b,抇,n,为,b1,、,b2,、,、,bn,的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当,a1=a2=an,，或,b1=b2=bn,时，式中等号成立。）由这一不等式可知，同序积最大，倒序积最小。,例题：设有,10,个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、,九、十个人的桶，分别需要,1,、,2,、,3,、,、,9,、,10,分钟。问：如何安排这,10,个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？,【排序不等式】,解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为：,1,，,2,，,3,，,，,9,，,10,。,打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成,1,，,2,，,3,，,，,9,，,10,。,根据排序不等式，最小积的和为倒序，即,110+29+38+47+56+65+74+83+92+101,=,（,110+29+38+47+56,）,2,=,（,10+18+24+28+30,）,2,=220,（分钟）,其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法,。,解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，9,最优方案与最佳策略,例,1,某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在,A,、,B,、,C,、,D,四台不同设备上加工,2,、,1,、,4,、,0,小时；每件乙产品需分别在,A,、,B,、,C,、,D,四台不同设备上加工,2,、,2,、,0,、,4,小时。已知,A,、,B,、,C,、,D,四台设备，每天最多能转动的时间分别是,12,、,8,、,16,、,12,小时。生产一件甲产品该厂得利润,200,元，生产一件乙产品得利润,300,元。问：每天如何安排生产，才能得到最大利润？（中国台北第一届小学数学竞赛试题）,最优方案与最佳策略例1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工,讲析：设每天生产甲产品,a,件，乙产品,b,件。由于设备,A,的转动时间每天最多为,12,小时，则有：（,2a,2b,）不超过,12,。,又（,a,2b,）不超过,8,，,4a,不超过,16,，,4b,不超过,12,。,由以上四个条件知，,当,b,取,1,时，,a,可取,1,、,2,、,3,、,4,；,当,b,取,2,时，,a,可取,1,、,2,、,3,、,4,；,当,b,取,3,时，,a,可取,1,、,2,。,这样，就是在以上情况下，求利润,200a,300b,的最大值。可列表如下：,所以，每天安排生产,4,件甲产品，,2,件乙产品时，能得到最大利润,1400,元。,讲析：设每天生产甲产品a件，乙产品b件。由于设备A的转动时间,【最佳策略】,例,1 A,、,B,二人从,A,开始，轮流在,1,、,2,、,3,、,、,1990,这,1990,个数中划去一个数，直到最后剩下两个数互质，那么,B,胜，否则,A,胜。问：谁能必胜？制胜的策略是什么？（,中华电力杯,少年数学竞赛试题）,讲析：将这,1990,个数按每两个数分为一组；（,1,、,2,），（,3,、,4,），（,5,、,6,），,，（,1989,、,1990,）。,当,A,任意在括号中划去一个时，,B,就在同一个括号中划去另一个数。这样,B,就一定能获胜。,例,2,桌上放有,1992,根火柴。甲乙两人轮流从中任取，每次取得根数为,1,根或,2,根，规定取得最后一根火柴者胜。问：谁可获胜？（,1992,年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题）,讲析：因为两人轮流各取一次后，可以做到只取,3,根。谁要抢到第,1992,根，谁就必须抢到第,1989,根，进而抢到第,1986,、,1983,、,1980,、,、,6,、,3,根。,谁抢到第,3,根呢？自然是后取的人。即后取的可以获胜。,【最佳策略】,下课,下课,