单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一、自然坐标系,问题的提出：,在直角坐标系中，加速度公式无法看出哪一部分是由,速度大小变化,产生的加速度，哪一部分是由,速度方向变化,产生的加速度，所以引入自然坐标系来描写。,1,.,自然坐标系,自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的，有两个坐标轴，,切向坐标,和,法向坐标,。,2,切向加速度、法向加速度,/,一、自然坐标系,切向坐标,沿运动轨迹的切线方向；,法向坐标,n,沿运动轨迹的法线方向。,二、切向加速度、法向加速度,物体沿平面作曲线运动，速度变化为 建立自然坐标系。,2,切向加速度、法向加速度,/,二、,a,、,a,n,将,分解为,和,其中,切线方向的单位矢量；,法线方向的单位矢量。,（,1,）,为速度增量在切线方向的分量；,为速度增量在法线方向的分量；,A,B,v,A,v,B,v,A,2,切向加速度、法向加速度,/,二、,a,、,a,n,有,即,其中：,由于速度,大小,变化产生的加速度；,由于速度,方向,变化产生的加速度。,将（,1,）式两边同除,后取极限，,2,切向加速度、法向加速度,/,二、,a,、,a,n,由加速度的定义有,A,B,v,A,v,B,v,A,d,d,s,P,P,d,对任意曲线，有：,对于平面曲线运动,大小,2,切向加速度、法向加速度,/,二、,a,、,a,n,为运动轨迹的曲率半径,。,挑战：证明以上两式,例：,一质点作半径为,R,的圆周运动，其速率满足 ，,k,为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。,解：,切向加速度,法向加速度,加速度,2,切向加速度、法向加速度,/,二、,a,、,a,n,讨论下列几种运动情况：,1,.,匀速直线运动；,2,.,匀变速直线运动；,3,.,匀速率圆周运动；,4,.,变速曲线运动；,2,切向加速度、法向加速度,/,二、,a,、,a,n,解：,例：手球运动员以初速度,v,0,与水平方向成,0,角抛出一球，如图所示。当球到达,M,点处，与水平线夹角为,，求,(1),球在,M,点速度的大小；,(2),球在,M,点处的切向加速度和法向加速度大小；,(3)M,点处的曲率半径。,想一想：何处曲率半径最大？何处最小？,二,.,圆周运动的角量描述,o,x,y,A,：,t,B,：,t+,t,设质点在,o,x,y,平面内绕,o,点、沿半径为,R,的轨道作圆周运动，如图。以,ox,轴为参考方向，则质点的,角位置为,角位移为,规定反时针为正,平均角速度为,角速度为,角加速度,为,为何不用矢量？,角,速,度,的,单位：,弧度/秒(,rads,-1,),；,角加速度的单位：,弧度/平方秒(,rad s,-2,),。,讨论：,(1),角加速度,对,运动的影响：,等于零，质点作匀速圆周运动；,不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动；,随时间变化，质点作一般的圆周运动。,(2),质点作匀速或匀变速圆周运动时,的角速度、角位移与角加速度的关系式为,与,匀变速直线运动的几个关系式,比较知：,两者数学形式完全相同,说明用角量描述,可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题,。,R,O,x,三、线量与角量之间的关系,圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。,+,0,0,+,t,+,t,B,t,A,图示,一质点作圆周运动：,在,t,时间内，质点的角位移为,，则,A,、,B,间的,有向线段,与弧将满足下面的关系,两边同除以,t,，得到速度与角速度之间的关系：,将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：,将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：,法向加速度也叫向心加速度。,例题,计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。,解：,地球自转周期,T=246060 s,，角速度大小为：,如图，地面上纬度为的,P,点，在与赤道平行的平面内作圆周运动,其轨道的半径为,R,赤道,r,p,P,点速度的大小为,P,点只有运动平面上的向心加速度，其大小为,方向：与过,P,点运动平面上半径为,R,的圆相切。,P,点加速度的方向在运动平面上由,P,指向地轴。,例如,:,已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬,3957,、,3112,和,2300,，则,三地的,v,和,a,n,分别为：,北京：,上海：,广州：,R,o,在,t,时刻，质点运动到位置,s,处。,s,s,解,：,先作图如右，,t,=0,时，质点位于,s,=0,的,p,点处。,P,（,1,）,t,时刻质点的总加速度的大小；,（,2,）,t,为何值时，总加速度的大小为,b,；,（,3,）当总加速度大小为,b,时，质点沿圆周运行了多少圈。,例题,一质点沿半径为,R,的圆周按规律,运动，,v,0,、,b,都是正的常量。求：,（,2,）令,a,=b,，即,R,o,s,（,1,）,t,时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小,:,（,3,）,当,a,=b,时，,t=,v,0,/b,，由此可求得质点历经,的弧长为,它与圆周长之比即为圈数：,R,o,s,得,