单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七节 常高斯曲率的曲面,7.1 常高斯曲率的曲面,设曲面,S,：,r,=,r,(,u,v,),的高斯,曲率为常数，在曲面上任取点,P,和过,P,点的任意测地线(,C,),把(,C,),作为坐标曲线,u,=0,即,v,线中的一条，,且从,P,点起的弧长为,v,，,取与（,C,）,正交的测地线簇为,u,线，取这簇测地线的正交轨线（包含（,C,）,为,v,线，则得到一半测地坐标网，因此曲面的第一基本形式可写为,由假设,v,为曲线的弧长，所以,由第五节习题知，对于半测地坐标网，,根据初始条件,这个微方程的通解可按高斯曲率的符号分为三种情况：,以上三种情形可从微分方程的理论中推得，例如：,（1）正常数高斯曲率（,K,0）,的曲面，方程,的通解为,这里,A,(,v,),B,(,v,),都是,v,的函数，由初始条件,可得,A,(,v,)=1，,B,(,v,)=0。,第一基本形式为,例：球心在原点，半径为,R,的球面。,（2）,K,=0，,则微方程的通解为 ，由初始条件得 因此,与平面的第一基本形式相同，或者说与平面等距。,（3）,K,0,时，曲面与球面等距，,K,=0,时与平面等距，,K,0,时与伪球面等距。,4、命题：若通过伪球面的第一基本形式,把它经过保角变换映射到平面上，则伪球面的测地线对应于园心在,x,轴上的园。,要证明这个命题，先作保角变换：,与平面第一基本形式成比例，因此从曲面上的点到平面上的点的变换是保角变换。现在来看看它的测地线：,现在,代入测地线方程有,K,=1,时，,K,=2,时，,所以测地线方程为,由第一式,由第二式,积分之,除,以 得,积分,整理得,这是,xoy,平面上园心在,x,轴上的园的方程，命题得到证明。,下面考虑,xoy,平面上在,x,轴上方的半平面，我们称之为罗氏平面，伪球面上的测地线经过保角变换映成罗氏平面上园心在,x,轴上的半园，我们把这半园称为罗氏直线，因此经过罗氏平面上任两点,P,1,到,P,2,正好有一条罗氏直线连结它们，通过保角变换，过伪球面上任两点，也就有唯一条测地线连结它们。,7、3 罗氏几何,1、罗氏平面上的距离,设 是罗氏平面上的两点，通过保角变换，它们对应伪球面上两点，连结这两点有唯一条测地线，我们把这两对应点之间的测地线的弧长定义为,P,1,到,P,2,的罗氏距离。,由,得,积分沿着,P,1,和,P,2,对应的伪球面上两点之间的唯一测地线进行，注意到测地线的方程为,作坐标变换,设罗氏,直线,P,1,P,2,与,x,轴的交点为,P,0,和,P,，,由于这四点在一园周上，我们定义它们的非调和比 ，在园上取一点,S,，,因此罗氏距离公式为,定义,当 或 时，交比 ，,所以可以认为,x,轴上的点 或 是罗氏直线上的“无穷远点”，也就是说，,x,轴是罗氏平面上的“无穷远线”。,2、罗氏平面上的平行线,罗氏平面上的直线,l,就是园心在,x,轴上的上半园，它交,x,轴于,P,0,和,P,两点。,设,P,是罗氏平面上在直线,l,外的任一点，则过,P,和,P,0,有一条罗氏直线,l,0,，,过,P,和,P,有一条罗氏直线,l,，,直线,l,与直线,l,0,交于“无穷远点”,P,0,，,因此可以认为直线,l,与直线,l,0,是平行的，同理直线,l,l,也是平行的。见图,因此在罗氏平面上，过直线,l,外一点,P,可以作两条直线,l,0,和,l,平行于于直线,l,，,因而在罗氏平面上欧氏几何的平行公理不成立。,3、罗氏平面上的运动,把定义了笛卡尔直角坐标(,x,y,),的平面看成复平面，平面上的点(,x,y,),对应一个复数,z,=,x,+,iy,，,罗氏平面对应于,y,0,的上半复平面，,在复平面上作线性变换,其中,p,q,r,s,是实数，且 ，由复函知，这是复平面上的保,角变换，它使上半复平面变为上半复平面。,现在证明这个变换就是罗氏平面上的等距变换。即有,由,线性变换得,所以,即,第二章 总 结,