单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,八年级 上册,13.4,课题学习 最短路径问题,因材教育,八年级 上册13.4 课题学习 最短路径问题因材教育,如图所示，从,A,地到,B,地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,温故知新,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最,要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？,垂线段最短,张村,河流,泵站,要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水,前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线,段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段,中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为,最短路径问,题,现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节,将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”,前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线,已知：如图，,A,，,B,在直线,L,的两侧，在,L,上求一点,P,，使得,PA+PB,最小。,连接,AB,线段,AB,与直线,L,的交点,P,，就是所求,A,B,l,P,为什么？,已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+,问题,1,相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久,负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访,海伦，求教一个百思不得其解的问题：,从图中的,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然,后到,B,地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程,最短？,探索新知,B,A,l,问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久探索新知BA,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的,知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马,问题”,你能将这个问题抽象为数学问题吗？,B,A,l,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 BAl,这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将,A,，,B,两地抽象为两个点，将河,l,抽象为一条直线,B,A,l,这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将A，B 两地,（,1,）,从,A,地出发，到河边,l,饮马，然后到,B,地；,（,2,）,在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与,A,，,B,连接起来的两条线段的长度之和，就是从,A,地,到饮马地点，再回到,B,地的路程之和；,追问,2,你能用自己的语言说明这个问题的意思，,并把它抽象为数学问题吗？,B,A,l,（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； 追问,追问,2,你能用自己的语言说明这个问题的意思，,并把它抽象为数学问题吗？,（,3,）,现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最,短的直线,l,上的点设,C,为直线上的一个动点，上,面的问题就转化为：当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小（如图）,B,A,l,C,追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，（3）现在的,如何将,B,“,移”到,l,的另一侧,B,处，满足直线,l,上的任意一点,C,，都保持,CB,与,CB,的长度相等？,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,如何将B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意,你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点,B,吗？,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗,作法：,（,1,）作点,B,关于直线,l,的对称,点,B,；,（,2,）连接,AB,，与直线,l,相交,于点,C,则点,C,即为所求,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,B,C,作法： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ Bl,证明：如图，在直线,l,上任取一点,C,（与点,C,不,重合），连接,AC,，,BC,，,B,C,由轴对称的性质知，,BC,=,B,C,，,BC,=,B,C,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,=,AB,，,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,在,AB,C,中,，,AB,AC,+,B,C,，,AC,+,BC,AC,+,BC,即,AC,+,BC,最短,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,C,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不你能用,若直线,l,上任意一点（与点,C,不重合）与,A,，,B,两点的距离,和都大于,AC,+,BC,，就说明,AC,+,BC,最小,B,l,A,B,C,C,证明,AC,+,BC,最短时，为什么要在直线,l,上,任取一点,C,（与点,C,不重合），证明,AC,+,BC,AC,+,BC,？这里的“,C,”,的作用是什么？,若直线l 上任意一点（与点BlABCC证明,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？,B,l,A,B,C,C,轴对称,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问,（造桥选址问题）如图，,A.B,两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥,MN,，桥造在何处才能使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,A,M,N,B,（造桥选址问题）如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上,我们可以把河的两岸看成两条平行线,a,和,b,N,为直线,b,上的一个动点，,MN,垂直于直线,b,交直线,a,于点,M,，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点,N,在直线,b,的什么位置时，,AM+MN+NB,最小？,a,b,A,M,N,B,我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,N为直线b上的一个动,a,b,A,M,N,B,由于河岸宽度是固定的，因此当,AM+NB,最小时，,AM+MN+NB,最小。这样问题可转化为：当点,N,在直线,b,的什么位置时，,AM+NB,最小。,怎样通过图形的变化，把这个问题,转化为前面求距离和最短的情况？,abAMNB由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，A,作法：,1.,将点,A,沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到,E,，,2.,连接,AB,交河对岸于点,N,则点,N,为建桥的位置，,MN,为所建的桥,。,证明：,由平移的性质，得,AMAN,且,AM=AN, MN=MN,所以,A.B,两地的距离,:AM+MN+BN=AN+MN+NB=AB+MN,若桥的位置建在,N,处，过,N,作,NM,a,垂足为,M,连接,AM.AN.BN,则,AB,两地的距离为：,AM+MN+NB=AN+MN+NB,在,ANB,中，,AN+NB,AB,AN+NB+MN,AB+MN,即,AM+MN+NB,AM+MN+BN,所以在点,N,的位置建桥,MN,，,AB,两地的路径,AMNB,最短。,a,b,A,M,N,B,A,M,N,作法：1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，abAM,将,AM,沿与河岸方向垂直的方向平移，点,M,移动到点,N,，点,A,移动到点,A,，则,AA=MN,AM+NB=AN+NB,这样问题就转化为：,当点,N,在直线,b,的什么位置时，,AN+NB,最小？,a,b,A,M,N,B,A,将AM沿与河岸方向垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？,平移,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问,勇攀高峰,练习如图，一个旅游船从大桥,AB,的,P,处前往山,脚下的,Q,处接游客，然后将游客送往河岸,BC,上，再返,回,P,处，请画出旅游船的最短路径,A,B,C,P,Q,山,河岸,大桥,勇攀高峰练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山,基本思路：,由于两点之间线段最短，所以首先可连接,PQ,，线,段,PQ,为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为,一条直线,BC,，这样问题就转化为“点,P,，,Q,在直线,BC,的同侧，如何在,BC,上找到,一点,R,，使,PR,与,QR,的和最,小”,A,B,C,P,Q,山,河岸,大桥,基本思路：ABCPQ山河岸大桥,小结,（,1,）本节课研究问题的基本过程是什么？,（,2,）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？,能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想,利用轴对称和平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题,小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ 能利用轴对称,已知：如图,A,是锐角,MON,内部任意一点，在,MON,的两边,OM,，,ON,上各取一点,B,，,C,，组成三角形，使三角形周长最小,.,A,M,O,N,B,C,当,AB,、,BC,和,AC,三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM,教科书复习题,13,第,15,题,布置作业,教科书复习题13第15题 布置作业,