,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,17.1,勾股定理,直角三角形,是一类特殊三角形，它的三边具有一种特定的关系，该关系称为,勾股定理,，早在公元,3,世纪，我国数学家,赵爽,就用弦图证明了这定理。,2002,年，世界数学家大会在北京召开，大会会徽上的图形就是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理所做的,“,弦图,”,。用它作为会徽是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定。,本章就来学习勾股定理、它的逆定理以及它们的应用。,2002,年世界数学家大会会徽,探究,1.,如图是一个行距、列距都是,1,的方格网，在其中作出一个以格点为顶点的直角三角形,ABC,，然后，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形,、,、,。,思考：三个正方形面积,S,、,S,、,S,之间有怎样的关系？用它们的边长表示，能得到怎样的式子？,A,C,B,S,+,S,=,S,在行距、列距都是,1,的方格网中，再任意作出几个格点直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形,、,、,，如图。并以,S,、,S,、,S,分别表示它们的面积。,探究,A,C,B,b,c,a,A,C,B,c,b,a,观察左图，并填写：,S,=,个单位面积，,S,=,个单位面积，,S,=,个单位面积。,观察右图，并填写：,S,=,个单位面积，,S,=,个单位面积，,S,=,个单位面积。,A,C,B,b,c,a,A,C,B,c,b,a,探究,9,9,18,9,16,25,每一个图中的三个正方形面积之间的关系是,S,+,S,=,S,；,用它们的边长表示，就是,a,2,+,b,2,=,c,2,。,A,C,B,b,c,a,A,C,B,c,b,a,探究,下面每一个图中的三个正方形面积之间有怎样的关系？用它们的边长表示。,交流,通过上面的探究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗？,定理 直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。,我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。因此，我们称上述定理为,勾股定理,，国外称为,毕达哥拉斯定理,。,如果直角三角形的两直角边用,a,、,b,表示，斜边用,c,表示，那么勾股定理可表示为,a,2,+,b,2,=,c,2,.,操作,请大家将手中的四个全等的直角边长分别为,a,、,b,，斜边为,c,的直角三角形，拼成如图所示的正方形，并找出图中的面积关系。,A,B,C,a,c,b,c,c,c,c,a,b,B,1,a,b,C,1,F,a,b,D,1,G,a,b,A,1,E,H,图中的面积关系是：,S,正方形,EFGH,-4,S,ABC,=S,正方形,A,1,B,1,C,1,D,1,由此，你能得出勾股定理的证明方法吗？,已知：如图，在,Rt,ABC,中，,C,=90,，,AB,=,c,，,BC,=,a,，,AC,=,b,.,求证：,a,2,+,b,2,=,c,2,.,证明,取,4,个与,Rt,ABC,全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的边长为,a,+,b,的正方形,EFGH,。,可以证明四边形,A,1,B,1,C,1,D,1,是边长为,c,的正方形（为什么？）。,且,S,正方形,EFGH,-4,S,ABC,=S,正方形,A,1,B,1,C,1,D,1,即,(,a,+,b,),2,-4,ab,=,c,2,.,化简，得,a,2,+,b,2,=,c,2,.,注意：,上面我们用,面积计算,证明了勾股定理，但这不是惟一的证明方法，请大家阅读课本第,15,页的,数学史话,勾股定理,。,1.,在,Rt,ABC,中，,C,=90,，,AB,=,c,，,BC,=,a,，,AC,=,b,.,(1),a,=6,，,b,=8,，求,c,；,(2),a,=8,，,c,=17,，求,b,.,2.,在,Rt,ABC,中，,B,=90,，,a,=3,，,b,=4,，求,c,.,3.,在直角三角形中，已知两边的长为,3,和,4,，求第三边的长,.,勾股定理的最大作用就是用在计算上，请同学们用勾股定理来解答下列各题：,运用勾股定理时应注意：,在直角三角形中，认准直角边和斜边；,两直角边的平方和等于斜边的平方。,课堂小结,与同伴交流下面问题。,本节课中我们是如何得到勾股定理的？,又是如何证明勾股定理的？,你还了解哪些关于勾股定理的历史和它的证明方法？,作业：,课本习题,17.1,中第,1,、,2,、,3,题,.,下节课我们将进一步学习勾股定理的应用，敬请期待。,