西安交通大学 数学与统计学院,第六章 特征线法,数学物理方程,本章中心内容,第,6,章,特征线法,特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程,在数学的天地里,重要的不是我们知道,什么,而是我们怎么知道什么,.-,毕达哥拉斯,Method of characteristics,一种基于特征理论的求解双,曲型偏微分方程组的似方法。,它产生较早，,19,世纪末已经有效地,为人们所用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，在,一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的用。,特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使其求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是求解非线性方程的一种有效方法。,一、特征线法,结合一些具体的定解问题的求解，说明特征线方法的基本思想和求解方法。,第一节、一阶偏微分方程特征线法,例,1,求解线性方法,Cauchy,问题,解,方程（,1,）的左端,是,的一阶偏导数的线性,组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为,关于,t,的全,导数。,在这条直线,上，即,，在这个直线上，上述,定解问题转化为,解之，得,又,，则,此解法关键之处是找到直线,，偏微分方程转化为,常微分方程。直线,称为一阶偏微分方程（,1,）的特征线,特征线,是方程,的解，方程,称为（,1,）的特征方程，其解就是（,1,）的特征线。,沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特,征线法的基本思想。,对定解问题（,1,）（,2,）,也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换,则,即,代入,有,所以,即,对,两边积分，可得,其中，,为一个可微函数。,由,由方程（,2,）,得,即,所以,定义,1,考虑下面一阶线性微分方程,注,1,给出例,1,求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数,其中,、,和,、,均为自变量,、,的函数。,方程,称为,(4),式的特征方程，其积分曲线称为,(4),式的特征曲线。,c,，即为特征线的初始值,。当参数,在,轴滑动时，,(3),式的解曲线就织成了,(1),式,-(2),式的解曲面。,为了避免和常数,c,混淆，下面用变量,代替参数,c,。请记住：,变化相当于,在,轴上滑动。,例,2,求解线性方法柯西问题,解,方程,(6),式的特征方程为,而过点,的特征线就是下面问题的解,解之可得,。沿此特征线原定解问题,(6)-(7),简化为,解出,最后，由特征线方程,易得该问题的解为,常数,(8),式中便得,(6),式,-(7),式的解为,将其代入到,练习,求下列,Cauchy,问题的解,解,第一步 求特征线。特征线方程,的解为,第二步 化偏微分方程为常微分问题并求解。令,则,则,这个常微分方程初值问题的解为,又,所以,下面,考虑一阶拟线性方程，即一阶导数的系数与未知函数,一阶拟线性方程柯西问题的一般形式为,有关,。,方程,(9),式有一个很直观的几何解释，在,的法,对曲面上任一点,三维空间中，,(9),式的解可视为该空间中的一曲面,的,曲面在该点,向量为,而在曲面,上，过点,的曲线,在点,的切向,量为,。显然，向量,与,在点,相互,垂直。如记向量,则方程,(9),式恰好表示向量,与,在点,处相互垂直。因此，在曲面,第二节、一维波动方程的特征线法,考虑弦振动方程的,Cauchy,问题,这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特征线求解。,特征线族,即,可得,（,3,）称为特征方程,做变量代换,则,则（,1,）式变为,积分此方程，可得,其中,f,、,g,是两个任意函数，将变量,还原成,x,和,t,得,由方程,的（,2,）式，可得,对上面第二式两边积分,联立（,A,）（,B,）两式，可得,所以,例,2,解,例,1,解,