-,*,-,2,.2.1.1,抛物线的定义及其标准方程,1,.,了解抛物线、焦点及准线的定义,.,2,.,掌握抛物线标准方程的四种形式,并能说出各自的特点,从而培养学生数形结合解决问题的能力及分类讨论的数学思想,.,1,.,抛物线的定义,平面内与一个定点,F,和一条直线,l,(,l,不过,F,),的距离,相等,的点的集合叫作抛物线,.,定点,F,叫作抛物线的,焦点,定直线,l,叫作抛物线的,准线,.,名师点拨,1,.,抛物线的定义用集合语言表示为,:,P=,M|MF|=d,(,d,为,M,到定直线,l,的距离,),.,2,.,定义的实质可归纳为,“,一动二定三相等,”:,一个动点,设为,M,点,;,一个定点,F,(,抛物线的焦点,),及一条定直线,l,(,抛物线的准线,);,点,M,到点,F,的距离与它到定直线,l,的距离相等,.,3,.,抛物线定义中的定点,F,不在定直线,l,上,否则动点,M,的轨迹不是抛物线,而是过点,F,与,l,垂直的一条直线,.,如到点,F,(1,0),与到直线,l,:,x+y-,1,=,0,的距离相等的点的轨迹方程是,x-y-,1,=,0,轨迹为过点,F,且与直线,l,垂直的一条直线,.,【做一做,1,-,1,】,平面上到定点,A,(1,1),和到定直线,l,:,x+,2,y=,3,距离相等的点的轨迹为,(,),A.,直线,B.,抛物线,C.,双曲线,D.,椭圆,答案,:,A,【做一做,1,-,2,】,动点,M,到定点,(,-,3,0),的距离比它到直线,x-,1,=,0,的距离大,2,则点,M,的轨迹是,(,),A.,椭圆,B.,双曲线,C.,双曲线的一支,D.,抛物线,解析,:,本题主要考查抛物线的定义,.,因为动点,M,到定点,(,-,3,0),的距离比它到直线,x=,1,的距离大,2,所以动点,M,到定点,(,-,3,0),的距离等于它到直线,x=,3,的距离,所以点,M,的轨迹符合抛物线的定义,即满足条件的点,M,的轨迹是抛物线,.,答案,:,D,2,.,抛物线的标准方程,名师点拨,对四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,:,(1),共同点,:,原点在抛物线上,焦点在坐标轴上,;,准线与坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的,焦点到准线的距离均为,p,(,p,0),.,(2),不同点,:,方程的右端取正号时,开口方向与,x,轴,(,或,y,轴,),的正方向相同,焦点在,x,轴,(,或,y,轴,),的正半轴上,;,方程的右端取负号时,开口方向与,x,轴,(,或,y,轴,),的负方向相同,焦点在,x,轴,(,或,y,轴,),的负半轴上,.,由一次项系数和开口方向可确定抛物线标准方程的类型,.,如下口诀可帮助记忆,:,对称轴要看一次项,符号确定开口方向,;,如果,y,是一次项,负时向下,正时向上,;,如果,x,是一次项,负时向左,正时向右,.,注意,:,标准方程中,p,的几何意义是焦点到准线的距离,.,答案,:,C,【做一做,2,-,2,】,已知抛物线的焦点坐标是,(0,-,3),则该抛物线的标准方程为,(,),A.,x,2,=-,12,y,B.,x,2,=,12,y,C.,y,2,=-,12,x,D.,y,2,=,12,x,答案,:,A,题型一,题型二,题型三,求抛物线方程,【例,1,】,求满足下列条件的抛物线的标准方程,:,(1),过点,(,-,3,2);,(2),以坐标轴为对称轴,焦点在直线,x-,2,y-,4,=,0,上,.,分析,:,求抛物线的标准方程,要根据所给的条件确定其类型,设出相应的标准方程形式,然后求出参数,p.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思,本题第,(1),问中,焦点的位置不易确定,可作出草图,结合图形,设出抛物线的方程,从而分情况求解,.,第,(2),问主要是根据抛物线的定义,求出焦点坐标,从而求出方程,.,题型一,题型二,题型三,【变式训练,1,】,根据下列条件写出抛物线的标准方程,:,(1),准线方程为,y=-,1;,(2),焦点在,x,轴的正半轴上,焦点到准线的距离是,3,.,题型一,题型二,题型三,由抛物线方程求焦点坐标及准线方程,【例,2,】,已知下列抛物线的方程,分别求其焦点坐标和准线方程,:,(1),y,2,=,8,x,;(2)2,x,2,+,5,y=,0;(3),y,2,=ax,(,a,0),.,分析,:,解答本题可先把原方程转化为标准方程,求得参数,p,再求焦点坐标和准线方程,.,题型一,题型二,题型三,反思,如果已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标和准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向,一次项的变量若为,x,(,或,y,),则,x,轴,(,或,y,轴,),是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向,.,注意焦点与准线在原点的两侧,它们与原点的距离均等于一次项系数的,题型一,题型二,题型三,【变式训练,2,】,求以坐标轴为对称轴,并且经过点,A,(,-,2,-,4),及坐标原点的抛物线的标准方程及其对应的准线和焦点坐标,.,题型一,题型二,题型三,易错辨析,易错点,不理解抛物线标准方程的形式而致误,【例,3,】,设抛物线,y=mx,2,(,m,0),的准线与,y=,1,的距离为,3,求抛物线的标准方程,.,题型一,题型二,题型三,1,2,3,4,5,6,答案,:,A,1,2,3,4,5,6,答案,:,C,1,2,3,4,5,6,答案,:,C,1,2,3,4,5,6,A.,-,2B.2C.,-,4D.4,答案,:,D,1,2,3,4,5,6,5.,设抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),的焦点为,F,点,A,的坐标为,(0,2),若线段,FA,的中点,B,在抛物线上,则点,B,到该抛物线准线的距离为,.,1,2,3,4,5,6,6.,已知抛物线的顶点在原点,焦点在,y,轴上,抛物线上一点,M,(,m,-,3),到焦点,F,的距离为,5,求,m,的值、抛物线方程及其准线方程,.,解,:,抛物线焦点在,y,轴上,且过点,M,(,m,-,3),.,又点,M,到焦点的距离等于到准线的距离,抛物线方程为,x,2,=-,8,y,准线方程为,y=,2,.,