,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十章 杆件系统的有限元法,要 点,了解杆件系统有限元法的解是精确解；,杆件系统中的单元都在单元的局部座标中讨,论，然后再投影到整体座标中去；,杆件系统中的单元是梁单元，其变形以弯曲,和拉伸变形为主，常忽略剪切变形的影响。,第十章 杆件系统的有限元法要 点,1,所研究的对象是细长的杆件，即轴线方向的尺寸远比其他二个方向的尺寸大的多；,杆件系统可分为平面杆件系统和空间杆件系统，若组成结构物的杆件都在同一个平面内，外力也在这一平面内，则称为平面杆件系统；若组成结构物的杆件不在同一个平面内，则称为 空间杆件系统；,杆件系统中所用的单元主要为梁单元，如果各杆件只受拉压作用则采用桁架单元。,第十章 杆件系统的有限元法,10-1,杆件系统的有限元法的研究对象,所研究的对象是细长的杆件，即轴线方向的尺寸远比其他二个方向的,2,在梁单元上建立局部座标,oxyz，,以梁单元的轴线,ij,作为,x,轴，,y,轴垂直,x,轴。以右手法则确定座标轴系。对于等截面梁单元有二个节点,i,j，,每个,节点有三个自由度,u,i,，v,i,，,i,，,它的,节点位移,e,第十章 杆件系统的有限元法,10-2,等截面平面梁单元的刚度矩阵,在梁单元上建立局部座标 oxyz，以,3,它的节点力,R,e,第十章 杆件系统的有限元法,梁单元的位移模式,我们选择梁单元的位移模式,在梁单元中，规定位移,u,v,的正方向与座标轴方向一致，转角,的正向为逆时针转向；规定力,N,Q,的正方向与座标轴方向一致，力矩,M,的正方向为逆时针转向。,它的节点力Re第十章 杆件系统的有限元法 梁单元的位移,4,把上述位移函数写成矩阵形式,令1,x,为,h(x),令1,x x,2,x,3,为,H(x),为,a,为,b,现根据节点位移解出,a,和,b,第十章 杆件系统的有限元法,把上述位移函数写成矩阵形式第十章 杆件系统的有限元法,5,当,x=0,时,u,i,=a,0,当,x=,l,时,u,j,=a,0,+a,1,l,当,x=0,时,v,i,=b,0,当,x=,l,时,v,j,=b,0,+b,1,l,+b,2,l,2,+b,3,l,3,当,x=0,时,i,=dv/dx=b,1,当,x=,l,时,j,=dv/dx=b,1,+2b,2,l,+3b,3,l,2,写成矩阵形式,第十章 杆件系统的有限元法,由此解出,a,b,当 x=0 时 ui=a0,6,其中,第十章 杆件系统的有限元法,把,a,b,求出后就可获得梁单元的位移模式，代入上式,可得:,其中第十章 杆件系统的有限元法把a,b求出后就可获得,7,又可写成下式:,又令,第十章 杆件系统的有限元法,由于在位移函数,u,中的节点位移为,u,i,，u,j,，,位移函数,v,中的节点位移为,v,i,，,i,，,v,j,，,j,，,而现在要把它改写成,6*1,e,，,所以需要改写。,又可写成下式:第十章 杆件系统的有限元法 由于,8,把,h(x),H(x),扩大，并把,A,1,-1,A,2,-1,扩大,第十章 杆件系统的有限元法,把,A,1,-1,和,A,2,-1,合并成,A,把h(x),H(x)扩大，并把A1-1,A,9,合并后,A,如下式:,第十章 杆件系统的有限元法,则位移模式如下:,合并后A 如下式:第十章 杆件系统的有限元法则位移模式如,10,梁单元的应变,和应力,梁单元的应变,第十章 杆件系统的有限元法,于是,=B,e,。,其中,梁单元的应变 和应力 第十章 杆件系统的有限,11,梁单元的的刚度矩阵,K,e,根据虚功原理:,第十章 杆件系统的有限元法,梁单元的应力,第十章 杆件系统的有限元法梁单元的应力,12,展开后得:,第十章 杆件系统的有限元法,展开后得:第十章 杆件系统的有限元法,13,相乘以后,dV=dAdx,其中 为梁截面的主惯性矩,第十章 杆件系统的有限元法,则梁单元的刚度矩阵,K,e,如下:当,l,/h,5时忽略剪切的影响,相乘以后第十章 杆件系统的有限元法则梁单元的刚度矩阵Ke,14,10-3,等截面空间梁单元的刚度矩阵,第十章 杆件系统的有限元法,空间梁单元的节点位移,e,空间梁单元的节点力,R,e,同理可得空间梁单元的刚度矩阵,10-3 等截面空间梁单元的刚度矩阵第十章 杆件系统的有,15,第十章 杆件系统的有限元法,其中,I,y,，I,z,是对,y,和,z,轴的主惯矩，,I,p,是对,x,轴的惯矩。,第十章 杆件系统的有限元法其中Iy，Iz是对y和z轴的主惯,16,分布轴向力,p(x),的移置:,由于是轴向拉伸，形态矩阵用,N,u,。,第十章 杆件系统的有限元法,10-4,等截面梁单元的等效节点力计算,根据虚功原理,其中,G,为集中力,q,为分布力,分布轴向力p(x)的移置:第十章 杆件系统的有限元法 1,17,第十章 杆件系统的有限元法,若分布轴向力,p(x),是均布的,p(x)=p，,则,N,i,=N,j,=p,l,/2,第十章 杆件系统的有限元法若分布轴向力p(x)是均布的 p(,18,分布扭转力矩,M,x,(x),的移置:,第十章 杆件系统的有限元法,若,m,x,(x),是均布力矩,m,x,则,扭转时的角位移,也是线性变化的，扭转角,是,x,的线性函数，因此采用的形态矩阵与计算轴向力时相同。,分布扭转力矩Mx(x)的移置:第十章 杆件系统的有限元法若,19,分布横向力,q(x),的移置:,第十章 杆件系统的有限元法,分布横向力q(x)的移置:第十章 杆件系统的有限元法,20,若是均布力,q(x)=q,则,第十章 杆件系统的有限元法,分布弯曲力矩,m,z,(x),的移置:,由于弯曲力矩,m,z,(x),所对应的位移,是转角,若是均布力 q(x)=q 则第十章 杆件系统的有限元法 分布,21,可得等效节点力如下:,第十章 杆件系统的有限元法,若,m,z,(x),是均布弯矩,m,z,(x)=m,z,，,则等效节点力只有剪力,可得等效节点力如下:第十章 杆件系统的有限元法若mz(x)是,22,10-5,座标变换,第十章 杆件系统的有限元法,上述所讨论的,K,e,R,e,都是在梁单元的局部座,标下进行的。由于杆件系统在空间中各有自己的方向，都,建立了各自的座标系，所以在分析中都必须统一在一个整,体座标中进行，一定要进行座标变换。,设局部座标下的节点力为,R,e,，,节点位移,e,和单元刚度矩阵,K,e,及局部座标系,oxyz,设整体座标下的节点力为,R,e,，,节点位移,e,和单元刚度矩阵,K,e,及整体座标系,oxyz,10-5 座标变换第十章 杆件系统的有限元法,23,R,e,和,R,e,之间，,e,和,e,之间的转换关系,第十章 杆件系统的有限元法,因此需要找出,R,e,和,R,e,之间的转换关系,e,和,e,之间的转换关系,K,e,和,K,e,之间的转换关系,选择两个座标系：整体座标系,oxyz,和,局部座标系,oxyz,z,轴与,z,轴重合。,设梁单元,ij,与,x,轴重合，在,i,点上作用有节点力,N,i,，Q,i,，M,i,和,N,i,，Q,i,，M,i,。,Re和Re之间，e和 e之间的转换,24,根据投影规则,第十章 杆件系统的有限元法,在,j,点同理可得,根据投影规则第十章 杆件系统的有限元法在j点同理可得,25,写成矩阵形式,第十章 杆件系统的有限元法,T,称为转换矩阵,同理可得,上式可写成,写成矩阵形式第十章 杆件系统的有限元法T称为转换矩阵,26,第十章 杆件系统的有限元法,K,e,和,K,e,之间的转换关系,由于己建立了整体座标和局部座标中节点力,R,e,，R,e,之间的关系,，节点位移,e,e,之间的关系，利用上述关系可建立,K,e,，K,e,之间的关系:,己知:,已知:,得,代入右式,代入右式,得,第十章 杆件系统的有限元法Ke和 Ke之间的转换关,27,