,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,专题,5,圆的证明与计算,考法示例,考法透析,1,2,考法示例,圆的证明与计算是内江中考数学试题的解答题型重要组成部分，主要考查圆与直线的位置关系较多，大都考查切线的性质与判定，利用图形全等、相似、勾股定理或解直角三角形的知识综合解答图形中有关计算问题主要考查的知识点有切线的判定、垂径定理、等边三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等,.2021,年中考解答题的复习应重点结合以上知识点加强对此类解答题的训练,考法透析,类型,1,与切线判定有关的证明与计算,示例,1,(2015,内江,),如图，在,ACE,中，,CA,CE,，,CAE,30,，,O,经过点,C,，且圆的直径,AB,在线段,AE,上,(1),试说明,CE,是,O,的切线；,(2),若,ACE,中,AE,边上的高为,h,，试用含,h,的代数式表示,O,的直径,AB,；,(3),设点,D,是线段,AC,上任意一点,(,不含端点,),，连接,OD,，当,CD,OD,的最小值为,6,时，求,O,的直径,AB,的长,分析,(1),连接,OC,，如图,1,，要证,CE,是,O,的切线，只需证明,OCE,90,即可；,(2),过点,C,作,CMAB,于,M,，如图,1,，在,RtOMC,中运用三角函数即可解决问题；,(3),作,OF,平分,AOC,，交,O,于,F,，连接,AF,、,CF,、,DF,，如图,2,，易证四边形,AOCF,是菱形，根据对称性可得,DF,DO,，过点,D,作,DHOC,于,H,，易得,DH,DC,，从而有,CD,OD,DH,FD.,根据垂线段最短可得：当,F,、,D,、,H,三点共线时，,DH,FD(,即,CD,OD),最小，然后在,RtOHF,中运用三角函数即可解决问题,解答,解：,(1),连接,OC,，如图,1.CA,CE,，,CAE,30,，,E,CAE,30,，,COE,2CAE,60,，,OCE,90,，,CE,是,O,的切线,(2),过点,C,作,CMAB,于,M,，如图,1.,由题可得,CM,h.,在,RtOMC,中，,CM,OCsinCOM,，,h,OCsin60,OC,，,OC,，,AB,2OC,(3),作,OF,平分,AOC,，交,O,于,F,，连接,AF,、,CF,、,DF,，如图,2,，,则,AOF,COF,AOC,(180,60),60.,OA,OF,OC,，,AOF,、,COF,是等边三角形，,AF,AO,OC,FC,，四边形,AOCF,是菱形，,根据对称性可得,DF,DO.,过点,D,作,DHOC,于,H.OA,OC,，,OCA,OAC,30,，,DH,CDsinDCH,CDsin30,CD,，,CD,OD,DH,FD.,根据两点之间线段最短可得：,当,F,、,D,、,H,三点共线时，,DH,FD(,即,CD,OD),最小，,此时,FH,OFsinFOH,OF,6,，,则,OF,，,AB,2OF,当,CD,OD,的最小值为,6,时，,O,的直径,AB,的长为,.,点评,本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短等知识，把,CD,OD,转化为,DH,FD,是解决第,(3),小题的关键,变式训练,1,(2020,铜仁,),如图，,AB,是,O,的直径，,C,为,O,上一点，连接,AC,，,CEAB,于点,E,，,D,是直径,AB,延长线上一点，且,BCE,BCD.,(1),求证：,CD,是,O,的切线；,(2),若,AD,8,，,，求,CD,的长,(1),证明：连接,OC.AB,是,O,的直径，,ACB,90.,CEAB,，,CEB,90,，,ECB,ABC,ABC,CAB,90,，,A,ECB.,BCE,BCD,，,A,BCD,，,OC,OA,，,A,ACO,，,ACO,BCD,，,ACO,BCO,BCD,BCO,90,，,DCO,90,，即,OCCD.,CD,是,O,的切线,(2),解：,A,BCE,，,tanA,D,D,，,BCD,A,，,CBDACD,，,AD,8,，,CD,4.,2,(2020,黔西南,),古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”请研究如下美丽的圆如图，线段,AB,是,O,的直径，延长,AB,至点,C,，使,BC,OB,，点,E,是线段,OB,的中点，,DEAB,交,O,于点,D,，点,P,是,O,上一动点,(,不与点,A,，,B,重合,),，连接,CD,，,PE,，,PC.,(1),求证：,CD,是,O,的切线；,(2),小明在研究的过程中发现,是一个确定的值回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明,(1),证明：连接,OD,、,DB.,点,E,是线段,OB,的中点，,DEAB,交,O,于点,D,，,DE,垂直平分,OB,，,DB,DO.,在,O,中，,DO,OB,，,DB,DO,OB,，,ODB,是等边三角形，,BDO,DBO,60.,BC,OB,BD,，且,DBE,为,BDC,的外角，,BCD,BDC,DBO.DBO,60,，,BDC,30,，,ODC,BDO,BDC,60,30,90,，,即,ODCD,，,CD,是,O,的切线,(2),解：结论：这个确定的值是,证明：连接,OP.,由已知可得：,OP,OB,BC,2OE,，,又,COP,POE,，,OEPOPC,，,3.(2018,内江,),如图，以,RtABC,的直角边,AB,为直径作,O,交斜边,AC,于点,D,，过圆心,O,作,OEAC,，交,BC,于点,E,，连接,DE.,(1),判断,DE,与,O,的位置关系并说明理由；,(2),求证：,2DE,CDOE,；,(3),若,，求,AD,的长,(1),解：,DE,是,O,的切线,理由：连接,OD,，,BD.AB,是,O,的直径，,ADB,BDC,90.,OEAC,，,OA,OB,，,BE,CE,，,DE,BE,CE,，,DBE,BDE.,OB,OD,，,OBD,ODB,，,ODE,OBE,90.,又点,D,在,O,上，,DE,是,O,的切线,(2),证明：,BDC,ABC,90,，,C,C,，,BCDACB,，,，,BC,2,CDAC.,由,(1),知,DE,BE,CE,BC,，,4DE,2,CDAC.,由,(1),知，,OE,是,ABC,是中位线，,AC,2OE,，,4DE,2,CD2OE,，,2DE,2,CDOE.,(3),解：,DE,，,BC,5.,在,RtBCD,中，,tanC,设,CD,3x,，,BD,4x,，根据勾股定理，得,(3x),2,(4x),2,25,，,解得,x,1(,舍去,),或,x,1,，,BD,4,，,CD,3.,由,(2),知，,BC,2,CDAC,，,类型,2,与切线性质有关的证明与计算,示例,2,(2019,内江,),如图，,AB,与,O,相切于点,A,，直线,l,与,O,相离，,OBl,于点,B,，且,OB,5,，,OB,与,O,交于点,P,，,AP,的延长线交直线,l,于点,C.,(1),求证：,AB,BC,；,(2),若,O,的半径为,3,，求线段,AP,的长；,(3),若在,O,上存在点,G,，使,GBC,是以,BC,为底边的等腰三角形，求,O,的半径,r,的取值范围,分析,(1),连接,OA,，根据切线的性质得到,OAB,90,，根据等腰三角形的性质、对顶角相等得到,BAC,BCA,，根据等腰三角形的判定定理证明结论；,(2),连接,AO,并延长交,O,于,D,，连接,PD,，根据勾股定理求出,BC,，,PC,，证明,DAPCPB,，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；,(3),作,BC,的垂直平分线,MN,，作,OEMN,于,E,，根据勾股定理用,r,表示出,AB,，得到,OE,的长，根据题意计算，得到答案,解答,(1),证明：连接,OA.AB,与,O,相切，,OAB,90,，,OAP,BAC,90.,OBl,，,BCA,BPC,90.,OA,OP,，,OAP,OPA,BPC,，,BAC,BCA,，,AB,BC.,(2),解：延长,AO,交,O,于,D,，连接,PD,，则,APD,90.,OB,5,，,OP,3,，,PB,2,，,BC,AB,4.,在,RtPBC,中，,PC,DAP,CPB,，,APD,PBC,90,，,DAPCPB,，,即,(3),解：作,BC,的垂直平分线,MN,，作,OEMN,于,E,，,则,OE,由题意，得,O,与,MN,有交点，,OEr,，,即,r,，解得,r .,直线,l,与,O,相离，,r,5,，,则,O,的半径,r,的取值范围为,r,5.,点评,本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键,变式训练,4.,（,2020,武汉）如图，在,RtABC,中，,ABC,90,，以,AB,为直径的,O,交,AC,于点,D,，,AE,与过点,D,的切线互相垂直，垂足为,E.,（,1,）求证：,AD,平分,BAE,；,（,2,）若,CD,DE,，求,sinBAC,的值,.,（,1,）证明：连接,OD,，如图,.,DE,为切线，,ODDE.,DEAE,，,ODAE,，,1,ODA.,OA,OD,，,2,ODA,，,1,2,，,AD,平分,BAE.,（,2,）解：连接,BD,，如图,.AB,为直径，,ADB,90.,2,ABD,90,，,3,ABD,90.,2,3,，,1,3.,而,DE,CD,，,AD,BC,，,设,CD,x,，,BC,AD,y.,DCB,BCA,，,3,2,，,CDBCBA,，,CDCB,CBCA,，即,xy,y,（,x,y,），,整理，得,x,2,xy,y,2,0,，,5,(2017,内江,),如图，在,O,中，直径,CD,垂直于不过圆心,O,的弦,AB,，垂足为点,N,，连接,AC,，点,E,在,AB,上，且,AE,CE.,(1),求证：,AC,AEAB,；,(2),过点,B,作,O,的切线交,EC,的延长线于点,P,，试判断,PB,与,PE,是否相等，并说明理由；,(3),设,O,半径为,4,，,N,点,OC,为中点，点,Q,在,O,上，求线段,PQ,的最小值,(1),证明：连接,BC.AE,CE,，,A,ACE.,CD,为,O,的直径，,ABCD,，,，即,A,CBA,，,ACE,CBA,，,ACEABC.,，,AC,2,AEAB.,(2),解：,PB,PE.,理由：连接,BO.PB,与,O,相切，,PBO,90,，,PBE,OBN,90.,COB,OBN,90,，,PBE,COB.,又,PEB,A,ACE,2A,，,COB,2A,，,PEB,PBE,，,PB,PE.,(3),解：连接,PO,，交圆于点,Q,，此时,PQ,最小,N,是,CO,中点，,ON,OC,OB,，则,在,RtOBN,中，,OBN,30,，,COB,60,，,PBE,60.,又,OB,OC,，,PB,PE,，,COB,和,PBE,均为等边三角形，,BC,OB,4.,又,A,COB,30,，,ABC,30,，,PBC,CBE,30,，,BCPE.,在,RtPBC,中，,PB,6,(2020,自贡,),如图，,O,是,ABC,的外接圆，,AB,为直径，点,P,为,O,外一点，且,PA,PC,AB,，连接,PO,交,AC,于点,D,，延长,PO,交,O,于点,F.,(1),证明：,；,(2),若,tanABC,2,，证明：,PA,是,O,的切线；,(3),在,(2),条件下，连接,PB,交,O,于点,E,，连接,DE,，,若,BC,2,，求,DE,的长,(1),证明：连接,OC.PC,PA,，,OC,O