,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,角平分线的性质,第一课时,.,角平分线的性质第一课时.,1,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？,A,O,B,C,活,动,1,再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？,（对折）,情境问题,.,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两,2,1,、如图，是一个角平分仪，其中,AB=AD,BC=DC,。,将点,A,放在角的顶点,AB,和,AD,沿着角的两边放下,沿,AC,画一条射线,AE,AE,就是角平分线，你能说明它的道理吗,?,活,动,2,情境问题,A,D,B,C,E,如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？,.,1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。活动2,3,2,、,证明：,在,ACD,和,ACB,中,AD=AB,（已知）,DC=BC,（已知）,CA=CA,（公共边）,ACD ACB,（,SSS,）,CAD=CAB,（全等三角形的,对应边相等）,AC,平分,DAB,（角平分线的定义）,A,D,B,C,E,.,2、证明：ADBCE.,4,根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）,O,A,B,C,E,探究新知,活,动,3,N,O,M,C,E,N,M,.,根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平,5,分别以，为圆心大于 的长为半径作弧两弧在,AOB,的内部交于,如何用尺规作角的平分线？,A,作法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,作射线,OC,则,射线即为所求,.,分别以，为圆心大于 的长为半径作弧,6,O,A,B,N,M,C,证明,:,连结,MC,NC,由作法知,:,在,OMC,和,ONC,中,OM=ON,MC=NC,OC=OC,OMCONC(SSS),AOC=BOC,即,:OC,是的角平分线,.,.,OABNMC证明:连结MC,NC由作法知:.,7,1,平分平角,AOB,2,通过上面的步骤，得到射线,OC,以后，把它反向延长得到直线,CD,，直线,CD,与直线,AB,是什么关系？,A,B,O,C,D,.,1平分平角AOBABOCD.,8,探究角平分线的性质,(1),实验,：将,AOB,对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,活,动,5,(2),猜想,:,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,.,探究角平分线的性质 (1)实验：将AOB,9,证明：,在,PDO,和,PEO,中,PDO=PEO,1=2,OP=OP,PDO PEO(AAS),PD=PE,P,A,O,B,C,E,D,1,2,已知：如图，,OC,平分,AOB,，点,P,在,OC,上，,PD,OA,于点,D,，,PEOB,于点,E,求证,:PD=PE,探究角平分线的性质,OC,平分,AOB,1=2,PD OA,，,PE OB,PDO=PEO,.,证明：在PDO和PEO中PAOBCED12已知：如图，,10,角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,点,P,是,AOB,平分线上的一点,又,PD,OA,，,PEOB,PD=PE,（角平分线上的点到角的两边的距离相等）,A,O,B,E,D,P,证明线段相等,有角的平分线，有垂直距离,应用定理的前提条件是：,定理的作用：,.,角平分线的性质：点P是AOB平分线上的一点AOBEDP证,11,如图所示,OC,是,AOB,的平分线,P,是,OC,上任意一点,问,PE=PD?,为什么,?,O,A,B,E,D,C,P,PD,PE,没有垂直,OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直,.,如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问P,12,思考：,要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺,1,：,20 000,）,公路,铁路,.,思考：公路铁路.,13,如图：在,ABC,中，,C=90 AD,是,BAC,的平分线，,DEAB,于,E,，,F,在,AC,上，,BD=DF,；求证：,CF=EB,A,C,D,E,B,F,实践应用,(2),分析,:,要证,CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即,RtCDF,RtEDB.,现已有一个条件,BD=DF(,斜边相等,),还需要我们找什么条件,DC=DE(,因为角的平分线的性质,),再用,HL,证明,.,.,如图：在ABC中，C=90 AD是BA,14,已知：如图，,ABC,中，,C=90,，,AD,是,ABC,的角平分线，,DEAB,于,E,，,F,在,AC,上,BD=DF,，,求证：,CF=EB,。,证明：,AD,平分,CAB,DEAB,，,C,90,（已知）,CD,DE (,角平分线的性质,),在,tCDF,和,RtEDB,中,CD=DE,（已证）,DF=DB,（已知）,RtCDFRtEDB (HL),CF=EB,（全等三角形对应边相等）,.,已知：如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分,15,已知,:,如图,在,ABC,中,AD,是它的角平分线,且,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是,E,F.,求证,:EB=FC.,A,B,E,D,C,F,证明：,AD,平分,CAB,DEAB,，,DFAC,DE,DF(,角平分线的性质,),在,tBDE,和,RtCDF,中,DE=DF,（已证）,BD=CD,（已知）,RtBDERtCDF (HL),EB=CF,（全等三角形对应边相等）,.,已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,16,小结,:,1,：画一个已知角的角平分线；,(,注意作图痕迹和几何语言的表达,),及画一条已知直线的垂线；,2,：角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的,距离,相等,3,：角平分线的性质的应用,.,小结:1：画一个已知角的角平分线；(注意作图痕迹和几何语言的,17,B,O,A,C,D,P,E,1.,如图，,OC,是,AOB,的平分线，,PD=PE,PDOA,，,PEOB,思考：由,PD=PE,能不能得到,PDOA,，,PEOB,？,.,BOACDPE1.如图，OC是AOB的平分线，P,18,1,、如图，连接角平分仪的,边,BD,、,AC,，那么,AC,与,BD,有什么关系？为什么,?,提高与拓展,.,1、如图，连接角平分仪的提高与拓展.,19,2.,如图,在,ABC,中，,ACBC,，,AD,为,BAC,的平分线，,DEAB,，,AB,7,，,AC,3,，求,BE,的长。,E,D,C,B,A,.,2.如图,在ABC中，ACBC，AD为BAC的平分线，,20,例,1,已知：在等腰,RtABC,中，,AC,BC,C,90,，,AD,平分,BAC,，,DEAB,于点,E,。,求证：,BD,DE,AC,变式,已知,AB,15cm,求,DBE,的周长,E,D,C,B,A,.,例1 已知：在等腰RtABC中，AC BC变式,21,3.,在,RtABC,中，,BD,平分,ABC,，,DE,AB,于,E,，则：,图中相等的线段有哪些？相等的角呢？,哪条线段与,DE,相等？为什么？,E,D,C,B,A,若,AB,10,，,BC,8,，,AC,6,，,求,BE,，,AE,的长和,AED,的周长。,.,3.在RtABC中，BD平分ABC，D,22,