,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.1,因式分解,第四章 因式分解,4.1 因式分解第四章 因式分解,学习目标,1.,解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解,.,（重点）,2.,理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别,.,（难点）,学习目标1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分,导入新课,复习引入,问题,1,：,21,能被哪些数整除？,1,，,3,，,7,，,21.,问题,2,：,你是怎样想到的？,因为,21=,1,21=37.,思考：,既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？,可以,.,导入新课复习引入问题1：21能被哪些数整除？1，3，7，21,因式分解的概念,一,讲授新课,问题：,99,3,-99,能被,100,整除这个吗？,所以，,99,3,-99,能被,100,整除,.,想一想,:99,3,-99,还能被哪些整数整除,?,探究引入,因式分解的概念一讲授新课问题：993-99能被100整除这个,问题探究,如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？,a,b,c,m,方法一：,m,(,a,+,b,+,c,),方法二：,ma,+,mb,+,mc,m,(,a,+,b,+,c,)=,ma,+,mb,+,mc,整式乘法,?,问题探究如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块,完成下列题目：,x,(,x,-2)=_,(,x,+,y,)(,x,-,y,)=_,(,x,+1),2,=_,x,2,-2,x,x,2,-,y,2,x,2,+2,x,+1,根据左空，解决下列问题：,x,2,-2,x,=()(),x,2,-,y,2,=()(),x,2,+2,x,+1=,(),2,x,x,-2,x,+,y,x,-,y,x,+1,做一做,完成下列题目：x2-2xx2-y2x2+2x+1根据左空，解,联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式,.,区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的,.,问题,2,：,右边一栏表示的正是多项式的因式分解，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？,问题,1,：,观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？,联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.问题2：右边一栏表,总结归纳,把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做,因式分解,，也可称为,分解因式,.,其中，每个整式都叫做这个多项式的,因式,.,总结归纳 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形,判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：,辩一辩,A.,x,(,a,b,)=,ax,bx,B.,x,2,1+,y,2,=(,x,1)(,x,+1)+,y,2,C.,y,2,1=(,y,+1)(,y,1),D.,ax,+,by,+,c,=,x,(,a,+,b,)+,c,E,.,2,a,3,b=a,2,2,ab,F,.,(,x+,3,)(,x,3,),=x,2,9,提示：,判定一个变形是因式分解的条件：,(1),左边是多项式,(2),右边是积的形式,.(3),右边的因式全是整式,.,判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：辩一辩 A.,做一做,根据左面算式填空:,(1)3,x,2,-3,x,=_,(2),ma,+,mb,+,mc,=_,_,_,(3),m,2,-16=_,(4),x,2,-6,x,+9=_,(5),a,3,-,a,=_,计算下列各式:,(1),3,x,(,x,-1)=,_,(,2,),m,(,a,+,b,+,c,)=,_,(3)(,m,+4)(,m,-4)=,_,(4)(,x,-3),2,=,(5),a,(,a,+1)(,a,-1)=,_,3,x,2,-3,x,ma+mb+mc,m,2,-16,x,2,-6,x,+9,a,3,-,a,3,x,(,x,-1),m,(,a,+,b,+,c,),(,m,+4)(,m,-4),(,x,-3),2,a,(,a,+1)(,a,-1),做一做根据左面算式填空:计算下列各式:3x2 -3xma,想一想：,由,a,(,a,+1)(,a,-1),得到,a,3,-,a,的变形是什么运算,?,由,a,3,-,a,得到,a,(,a,+1)(,a,-1),的变形与它有什么不同,?,由,a,(,a,+1)(,a,-1),得到,a,3,-,a,的变形是整式乘法,由,a,3,-,a,得到,a,(,a,+1)(,a,-1),的变形与上面的变形,互为逆过程,.,因式分解与整式乘法的关系,二,想一想：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形,x,2,-1 (,x,+1)(,x,-1),因式分解,整式乘法,x,2,-1=(,x,+1)(,x,-1),等式的特征：左边是,多项式,，右边是,几个整式的乘积,想一想：,整式乘法与因式分解有什么关系？,是互为相反的变形，,即,x2-1,例,若多项式,x,2,+,ax,+,b,分解因式的结果为,a,（,x,2,）（,x,+3,），求,a,，,b,的值,.,解：,x,2,+,ax,+,b,=,a,（,x,2,）（,x,+3,）,=,ax,2,+,ax,-6,a,.,a,=1,，,b,=,6,a,=,6.,典例精析,方法归纳：,对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项,系数对应比较,即可,.,例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为解：x2+ax,下列多项式中，分解因式的结果为,-(,x,+,y,)(,x,-,y,),的是（）,A,x,2,y,2,B,x,2,+,y,2,C,x,2,+,y,2,D,x,2,y,2,B,练一练,下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-,当堂练习,2.,下列从左到右的变形中，是因式分解的有,_,.,24,x,2,y,=4,x,6,xy,（,x,+5,）（,x,5,）,=,x,2,25 ,x,2,+2,x,3=,（,x,+3,）（,x,1,）,9,x,2,6,x,+1=3,x,（,x,2,）,+1 ,x,2,+1=,x,（,x,+,）,3,x,n,+,2,+,27,x,n,=3,x,n,（,x,2,+,9,）,1.,下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是,（）,A.,a,(,a,+,b,-1)=,a,2,+,ab,-,a,B.,a,2,-,a,-2=,a,(,a,-1)-2,C.-4,a,2,+9,b,2,=(-2,a,+3,b,)(2,a,+3,b,),D.2x+1=x(2+),C,当堂练习2.下列从左到右的变形中，是因式分解的有_,3.,把多项式,x,2,+4,m,x,+5,因式分解得,(,x,+5)(,x,+,n,),，则,m,+,n,的值为,解析：由题意可得,x,2,+4,mx,+5=(,x,+5)(,x,+,n,),=,x,2,+(,n,+5),x,+5,n,，,5,n,=5,，,4,m,=,n,+5,解得,n,=1,，,m,=,，,m,+,n,=1+=.,3.把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n),4,.2004,2,+2004能被2005整除吗?,解,:2004,2,+2004=2004(2004+1),=2004 2005,2004,2,+2004,能被,2005,整除,4.20042+2004能被2005整除,5.,若多项式,x,4,+,mx,3,+,nx,16,含有因式,(,x,2),和,(,x,1),，,求,mn,的值,.,解：,x,4,+,m,x,3,+,n,x,16,的最高次数是,4,，,可设,x,4,+,mx,3,+,nx,16=(,x,-1)(,x,-2)(,x,2,+a,x,+,b,),，,则,x,4,+,mx,3,+,nx,-16=,x,4,+(,a,-3),x,3,+(,b,-3,a,+2),x,2,+(2,a,-3,b,),x,+2,b,比较系数得,2,b,=-16,，,b,-3,a,+2=0,，,a,-3=,m,，,2,a,-3,b,=,n,解得,a,=-2,，,b,=-8,，,m,=-5,，,n,=20.,mn,=,520=,100,5.若多项式x4+mx3+nx16含有因式(x2)和(,6.,甲、乙两个同学分解因式,x,2,+,ax,+,b,时，甲看错了,b,，分解结果为,(,x,+2)(,x,+4),；乙看错了,a,，分解结果为,(,x,+1,）,(,x,+9),，求,a,+,b,的值,.,解：分解因式甲看错了,b,，但,a,是正确的，,其分解结果为,x,2,+,ax,+,b,=(,x,+2)(,x,+4)=,x,2,+6,x,+8,，,a,=6,，,同理，乙看错了,a,，但,b,是正确的，,分解结果为,x,2,+,ax,+,b,=,(,x,+1)(,x,+9)=,x,2,+10,x,+9,，,b,=9,，,a,+,b,=15,6.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分,课堂小结,因式分解,定义：把一个多项式化成几个整式的,_,的形式，叫做因式分解，也可称为,_.,其中，每个整式叫做这个多项式的,_.,与多项式乘法运算的关系,的变形过程,.,前者是把一个多项式化为几个整式的,_,，后者是把几个整式的,_,化为一个,_.,积,分解因式,因式,相反,多项式,乘积,乘积,课堂小结因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的_的,