,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第3章 杆梁结构的有限单元法,3-1、杆梁结构的单元划分,3-2、两节点杆单元的单元分析,3-3、两节点平面梁单元单元分析,3-4、空间梁单元单元分析,3-5、拉压弯曲综合作用梁单元,3-6、单元刚度矩阵的坐标变换,3-7、整体刚度矩阵的形成,3-8、实例,第3章 杆梁结构的有限单元法3-1、杆梁结构的单元划分,1,3-1,杆梁结构的有限元法,本章讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统。杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在机械、建筑等领域承担着重要角色。根据构件两端的连接形式和载荷作用点不同，导致构件内的受力状态不同，从而将构件分为杆和梁。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件成为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限元法中将上述两种单元称为杆单元和梁单元。实际中，由杆件组成的平面和空间结构系统，其上的受力往往是轴力、扭矩、横向力、弯矩联合作用，杆件的轴线方向也是相互交错，因此，对杆件系统的分析，必须涉及杆单元与梁单元的组合，以及单元矩阵从局部坐标到总体坐标的转换。本章讨论：,1、杆梁结构的单元划分,2、只承受轴力的杆单元、承受横向力和弯矩的梁单元,3、承受轴力、横向力、弯矩联合作用的梁单元,4、单元矩阵从局部坐标到总体坐标的转换,5、单元刚度的集成。,3-1杆梁结构的有限元法 本章讨论杆梁单元和由它们组,2,3-2,杆梁结构的单元划分,一般而言，杆梁问题都有精确解，只是问题太复杂时，结构力学中方法求解困难，必须借助有限元求解。,3-2杆梁结构的单元划分一般而言，杆梁问题都有精确解，只是问,3,3-1,杆梁结构的单元划分,杆梁结构的单元划分一般都按杆梁的自然连接进行，即两铰接点之间的构件为一个单元，当然，对于梁结构，考虑到集中载荷作用点、截面变化点和分布载荷突变点应设置节点，也可将一根梁构件划分为多个梁单元,如上图中的梁结构。,载荷突变点必须设置节点,截面变化点必须设置节点,3-1杆梁结构的单元划分 杆梁结构的单元划分一,4,3-2 杆单元刚度矩阵,由于杆梁问题有解析解，所以杆梁单元无需假设近似函数作为位移函数，其刚度矩阵可直接按材料力学的基本公式，建立平衡推得，如绪论介绍的实例所示。但为了统一有限元分析的格式，这里仍按有限元的基本格式推导，其结果是相同的，亦即杆梁单元的有限元解是精确解。,假设杆只承受轴向力，只有轴线方向的位移和变形，不受剪力，同时，假设杆单元中间没有外力，即外力只能作用于节点上。所以，每个节点只有一个自由度，单元有两个自由度。常称为轴力杆单元,1、位移函数,待定系数可得到,3-2 杆单元刚度矩阵由于杆梁问题有解析解，所以杆梁单元无需,5,3-2,杆单元刚度矩阵,2、应变矩阵,3、刚度矩阵,3-2 杆单元刚度矩阵2、应变矩阵,6,3-2,杆单元刚度矩阵,假设杆只承受扭矩，只有绕轴线扭转变形，即自由扭转，所以，每个节点只有一个回转自由度，单元有两个自由度。常称为扭力杆单元。实际结构中，除圆截面杆外，其他截面的杆扭转变形后，截面不再保持平面，会发生翘曲；同时，很多截面受扭转变形时，并不是绕截面形心转动，会复杂的多。,如图为只受扭转的杆单元。同上分析，只需将相应的变量和符号进行替换，可得扭力杆的刚度矩阵：,3-2 杆单元刚度矩阵假设杆只承受扭矩，只有绕轴线扭转变形，,7,3-3,纯弯曲梁单元刚度矩阵,设x轴与梁单元重合，梁的主惯性轴为y，外载作用于同一平面内，则梁单元处于平面弯曲状态。每个节点两个自由度，即y向线位移和绕z轴的转角，节点力和节点力矩如图所示。节点力和节点位移向量为：（称平面弯曲梁单元）,1、位移函数,据材料力学可知，转角与扰度存在如下关系：,3-3 纯弯曲梁单元刚度矩阵设x轴与梁单元重合，梁的主惯性轴,8,3-3,纯弯曲梁单元刚度矩阵,利用两个节点坐标可带定四个系数，并整理为插值函数形式：,梁单元弯曲变形时，若忽略剪切的影响，则由材料力学得x方向的位移及应变为：,3-3 纯弯曲梁单元刚度矩阵利用两个节点坐标可带定四个系数，,9,3-3,纯弯曲梁单元刚度矩阵,2、应变矩阵,将形函数代入几何方程得：,3、刚度矩阵,注意：,3-3 纯弯曲梁单元刚度矩阵2、应变矩阵,10,3-4,拉压-弯曲梁单元刚度矩阵,当梁单元受到拉压和弯曲综合作用时，单元的节点位移向量和节点力向量为：（称平面刚架梁单元）,其刚度矩阵可直接迭加得到,（当然，必须先将矩阵扩大为6x6的矩阵）,3-4 拉压-弯曲梁单元刚度矩阵当梁单元受到拉压和弯曲综合作,11,3-4,拉压-弯曲梁单元刚度矩阵,刚度矩阵为：,杆单元扩大刚度矩阵,弯曲梁单元扩大刚度矩阵,3-4 拉压-弯曲梁单元刚度矩阵刚度矩阵为：杆单元扩大刚度矩,12,3-5,空间梁单元刚度矩阵,对于空间梁单元，每个节点有六个自由度，设x轴为单元轴线，,节点位移和节点力向量为：,其刚度矩阵类似上述受拉压-弯曲综合作用的梁单元刚阵的形成，可迭加得：（也可据刚度矩阵元素的物理意义，从材料力学得到）,3-5空间梁单元刚度矩阵对于空间梁单元，每个节点有六个自由度,13,3-5,空间梁单元刚度矩阵,第1行，对应只有,u,i,=1，其他自由度位移为0时，在相应自由度上的受力（只有轴线方向受力）；即受拉压作用的杆单元刚阵；,第2，3行，v,i,=1,(或w,i,=1)，其他自由度位移为0时，即单垮超静定梁因杆端位移产生杆端力的情况，,第4行，即杆纯扭转情况，,第5，6行，即单垮超静定梁因杆端位移产生杆端力的情况，纯弯曲。,（以上矩阵元素均可从材料力学公式中查得）,3-5空间梁单元刚度矩阵第1行，对应只有ui=1，其他自由度,14,3-6,坐标变换,前述的杆梁单元节点位移、节点力及刚度矩阵都是建立于局部坐标系，坐标方向由单元方向确定。但在实际结构中，由于构件的轴线都是纵横交错的，因此，为了便于整体分析，必须将局部坐标系下的节点位移、节点力和刚度矩阵变换到统一的整体坐标，然后才能实施组装集成，进行整体分析。,设单元在局部坐标系下的形式为：,单元在整体坐标系下的形式为：,3-6坐标变换前述的杆梁单元节点位移、节点力及刚度矩阵都是,15,3-6,坐标变换,设单元局部坐标系与整体坐标系间的变换关系为 T，则相应的节点力、节点位移：,同时，推得整体坐标下的刚度方程,3-6坐标变换设单元局部坐标系与整体坐标系间的变换关系为,16,3-6,坐标变换矩阵,设节点i的位移在局部坐标上的分量为,u,i,，v,i,，w,i,，则在整体坐标的分量为,2D位移矢量的坐标变换式,这里t为变换矩阵,3-6坐标变换矩阵设节点i的位移在局部坐标上的分量为ui，,17,3-6,坐标变换矩阵,若考虑节点i的转角位移，同理，可得相同的变换矩阵,由于每个梁单元有两个节点，每个节点有6个自由度，故空间梁单元有12个自由度，与其相对应的变换矩阵T应为12x12阶，即,3-6坐标变换矩阵若考虑节点i的转角位移，同理，可得相同的,18,3-6,坐标变换矩阵,可以证明t或T是正交矩阵，即它的逆等于其转置,。,注意:一个矢量的三个方向余弦的平方和为1,垂直矢量的内积为0.,从而整体坐标下的单元刚度矩阵可改写为,3-6坐标变换矩阵可以证明t或T是正交矩阵，即它的,19,3-7,整体刚度矩阵的组装,杆梁结构的整体刚度矩阵的组装和连续体单元刚阵的组装原则完全相同，只是注意组装之前必须对单元刚阵进行坐标变换，将局部坐标下的杆梁单元刚阵变换为整体坐标下的单元刚阵，然后“对号入座”即可。,总刚组装步骤：,1、局部坐标下的各个单刚、节点力计算；,2、各个单元与整体坐标变换矩阵计算；,3、整体坐标下各个单刚、节点力计算；,4、“对号入座”组装形成总刚。,3-7整体刚度矩阵的组装杆梁结构的整体刚度矩阵的组装和连续,20,3-7,整体刚度矩阵的组装,各个单元在整体坐标系下的单元刚阵形式如右：,1、单元1、2、3，局部坐标下单刚与整体坐标下的相同；,2、单元4、5，局部坐标与整体坐标的变换矩阵为,3-7整体刚度矩阵的组装 各个单元在整体坐标系下的,21,3-7,整体刚度矩阵的组装,将各个单元在整体坐标下的单元刚阵对号入坐，即可形成总刚：,平面刚架单元每个节点有3个自由度，共有3*6=18 个自由度,3-7整体刚度矩阵的组装将各个单元在整体坐标下的单元刚阵对,22,练 习,杆单元用来加强悬臂梁。确定节点1的位移和节点力。,练 习杆单元用来加强悬臂梁。确定节点1的位移和节点力。,23,结果,结果,24,