单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,用放缩法证明,数列中的不等式,用放缩法证明数列中的不等式,放缩法证明数列不等式,是数列中的难点内容，在近几,年的广东高考数列试题中都有考查,.,放缩法灵活多变，技,巧性要求较高，所谓,“放大一点点就太大，缩小一点点又,太小”,，,这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得,高不可攀！高考命题专家说：,“,放缩是一种能力,.,”,如何,把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩,法的精髓和关键所在！,其实，任何事物都有其内在规律，,放缩法也是“有法可依”的,，本节课我们一起来研究数列,问题中一些常见的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭,开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！,放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近几年的广东高考数,常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，,其基本结构形式有如下,4,种：,形如,1,n,i,i,a,k,?,?,?,（,k,为常数）,；形如,1,(,),n,i,i,a,f,n,?,?,?,；,形如,1,(,),n,i,i,a,f,n,?,?,?,；形如,1,n,i,i,a,k,?,?,?,（,k,为常数）,.,常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有,一,.,放缩目标模型,可求和,2,3,1,1,1,1,1,(,),2,2,2,2,n,n,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,例,1,2,3,1,2,3,2,(,),2,2,2,2,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,变式,1,2,3,1,1,1,1,1,(,),2,1,2,1,2,1,2,1,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,变式,2,2,3,1,2,3,2,(,),2,1,2,2,2,3,2,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,变式,3,1,(,n,i,i,a,k,k,?,?,?,为常数）,形,（一）,如,一.放缩目标模型可求和2311111()2222nn?,不等式左边可用等比数列前,n,项和公式求和,.,分析,左边,1,1,(1,),2,2,1,1,2,n,?,?,?,1,1,2,n,?,?,1,?,2,3,1,1,1,1,1,(,),2,2,2,2,n,n,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,例,1,表面是证数列不等式，,实质是,数列求和,不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.分析左边11(1)2,不等式左边可用,“错位相减法”,求和,.,分析,由错位相减法得,2,2,2,n,n,?,?,?,2,?,2,3,1,2,3,2,(,),2,2,2,2,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,变式,1,表面是证数列不等式，,实质是,数列求和,2,3,1,2,3,2,2,2,2,n,n,?,?,?,?,L,不等式左边可用“错位相减法”求和.分析由错位相减法得222n,左边不能直接求和，须先将其通项放缩后,求和，如何放缩？,分析,2,3,1,1,1,1,1,(,),2,1,2,1,2,1,2,1,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,变式,2,将通项放缩为,等比数列,注意到,1,1,2,1,2,n,n,?,?,左边,1,1,(1,),2,2,1,1,2,n,?,?,?,1,1,2,n,?,?,1,?,2,3,1,1,1,1,2,2,2,2,n,?,?,?,?,?,L,左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？分析23,左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求,和，如何放缩？,分析,注意到,2,2,2,n,n,?,?,?,2,?,2,3,1,2,3,2,(,),2,1,2,2,2,3,2,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,变式,3,2,3,1,2,3,2,2,2,2,n,n,?,?,?,?,?,?,L,左边,2,2,n,n,n,n,n,?,?,将通项放缩为,错,位相减,模型,左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？分析注意,【,方法总结之一,】,放缩法证明与数列求和有关的不等式，若,1,n,i,i,a,?,?,可直,接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要,先将通项,n,a,放缩后再求和,.,问题是将通项,n,a,放缩为可以求和且“不大不小”的,什么样的,n,b,才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不,多，主要有,等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项,相消模型,等,.,实际问题中，,n,b,大多是,等比模型,或,裂项相,消模型,.,【方法总结之一】放缩法证明与数列求和有关的不等式，若1nii,2013,19,),1,1,1,1,1,(,),1,3,3,5,5,7,(2,1)(2,1),2,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,N,L,(,广东文,第,(3),问,求证：,例,2,2,2,2,1,1,1,1,2,(,),2,3,n,n,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,变式,1,2,2,2,1,1,1,7,(2013,19,(3),),1,(,),2,3,4,n,n,?,?,?,?,?,?,?,N,L,广东理,第,：,问,求证,变式,2,2,2,2,1,1,1,5,1,(,),2,3,3,n,n,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,变式,3,201319)11111()133557(21)(21)2n,左边可用,裂项相消法,求和，先求和再放缩,.,分析,1,1,(1,),2,2,1,n,?,?,?,1,2,?,2013,19,),1,1,1,1,1,(,),1,3,3,5,5,7,(2,1)(2,1),2,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,N,L,(,广东文,第,(3),问,求证：,例,2,表面是证数列不等式，,实质是,数列求和,1,1,1,1,1,1,(1,),(,),(,),2,3,3,5,2,1,2,1,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,左边,1,1,1,1,(,),(2,1)(2,1),2,2,1,2,1,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,Q,左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.分析11(1)221n,左边不能求和，应先将通项放缩为,裂项相消,模型,后求和,.,分析,1,1,1,n,?,?,?,2,2,(,),n,?,?,保留第一项，,从,第二项,开,始放缩,1,1,1,1,1,1,(1,),(,),(,),2,2,3,1,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,左边,2,1,n,Q,2,2,2,1,1,1,1,2,(,),2,3,n,n,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,变式,1,1,(,1),n,n,?,?,1,1,(,),1,2,n,n,n,?,?,?,?,当,n,=1,时，不等式显然也成立,.,左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和.分析111,变式,2,的结论比变式,1,强，要达目的，须将,变式,1,放缩的,“度”,进行修正，如何修正？,分析,2,2,2,1,1,1,7,(2013,19,(3),),1,(,),2,3,4,n,n,?,?,?,?,?,?,?,N,L,广东理,第,：,问,求证,变式,2,保留前两项，从,第三项,开始放缩,思路一,2,1,1,(,1),n,n,n,?,?,左边,1,1,1,1,4,2,n,?,?,?,?,7,1,4,n,?,?,3,7,4,(,),n,?,?,2,1,1,1,1,1,1,1,1,(,),(,),(,),2,2,3,3,4,1,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,1,1,1,n,n,?,?,?,(,3),n,?,将变式,1,的通项从第三项才开始放缩,.,当,n,=1,2,时，不等式显然也成立,.,变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行,变式,2,的结论比变式,1,强，要达目的，须将变,式,1,放缩的,“度”,进行修正，如何修正？,分析,2,2,2,1,1,1,7,(2013,19,(3),),1,(,),2,3,4,n,n,?,?,?,?,?,?,?,N,L,广东理,第,：,问,求证,变式,2,保留第一项，,从,第二项,开,始放缩,思路二,2,2,1,1,1,n,n,?,?,左边,1,1,1,1,1,(1,),2,2,1,n,n,?,?,?,?,?,?,1,1,1,(1,),2,2,?,?,?,2,7,4,(,),n,?,?,1,1,1,1,1,1,1,(1,),(,),(,),2,3,2,4,1,1,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,1,1,1,(,),2,1,1,n,n,?,?,?,?,(,2),n,?,将通项放得比变式,1,更小一点,.,当,n,=1,时，不等式显然也成立,.,变式2的结论比变式1强，要达目的，须将变式1放缩的“度”进行,变式,3,的结论比变式,2,更强，要达目的，须将,变式,2,放缩的,“度”,进一步修正，如何修正？,分析,保留前两项，,从,第三项,开,始放缩,思路一,左边,1,1,1,1,1,1,1,(,),4,2,2,3,1,n,n,?,?,?,?,?,?,?,1,1,1,1,1,(,),4,2,2,3,?,?,?,?,3,5,3,(,),n,?,?,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(,),(,),(,),2,2,2,4,3,5,1,1,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,2,2,2,1,1,1,5,1,(,),2,3,3,n,n,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,变式,3,2,2,1,1,1,n,n,?,?,1,1,1,(,),2,1,1,n,n,?,?,?,?,(,3),n,?,将变式,2,思路二中通项从第三项才开始放缩,.,当,n,=1,2,时，不等式显然也成立,.,变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将变式2放缩的“度”进,变式,3,的结论比变式,2,更强，要达目的，须将,变式,2,放缩的“度”进一步修正，如何修正？,分析,保留,第一,项，,从,第,二项,开始,放缩,思路二,2,2,1,4,4,n,n,?,左边,1,1,1,2(,),3,2,1,n,?,?,?,?,1,1,2,3,?,?,?,2,5,3,(,),n,?,?,1,1,1,1,1,1,1,2,(,),(,),(,),3,5,5,7,2,1,2,1,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,L,1,1,2(,),2,1,2,1,n,n,?,?,?,?,(,2),n,?,将通项放得比变式,2,思路二更小一点,.,2,2,2,1,1,1,5,1,(,),2,3,3,n,n,?,?,?,?,?,?,?,N,L,求证：,变式,3,2,4,4,1,n,?,?,当,n,=1,时，不等式显然也成立,.,变式3的结论比变式2更强，要达目的，须将变式2放缩的“度”进,评注,放缩法的证明过程就像,“秋风扫落叶”,一样干脆利落！,对,2,1,n,放缩方法不同，得到的结果也不同,.,显然,5,7,2,3,4,?,?,，,故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式,3,，,那么变式,1,和变式,2,就显然成立,.,对,2,1,n,的,3,种放缩方法体现了,三种不同“境界”,，得到,2,1,1,n,k,k,?,?,的三个“上界”,，其中,5,3,最接近,2,2,1,1,6,k,k,?,?,?,?,?,（欧拉常数）,.,评注放缩法的证明过程就像“秋风扫落叶”一样干脆利落！对21,【方法总结之二】,放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程,中，很多时候要,“,留一手,”,