单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1.7.几何空间向量的外积,外积的基本性质（特别注意反交换律）,外积的计算,内积与外积在立体几何中的应用,点到直线的距离,二面角,直线与平面的夹角,点到平面的距离,二重外积,11/17/2024,1,1.7.几何空间向量的外积外积的基本性质（特别注意反交换,外积的定义,向量的外积是向量间的另一种重要的运算,有很多应用,如力学中的力矩.,11/17/2024,2,外积的定义向量的外积是向量间的另一种重要的运算,9/19/,外积的性质,证明:,11/17/2024,3,外积的性质证明:9/19/20233,外积的性质,则,证明:,11/17/2024,4,外积的性质则证明:9/19/20234,外积的运算性质,定理 7.3.,证明:,(EP1)由定义可得;,(EP2),且,由反交换律得另一等式,11/17/2024,5,外积的运算性质定理 7.3.证明:(EP1)由定义可得;,外积的运算性质,因,于是,由命题7.2可得,11/17/2024,6,外积的运算性质因于是由命题7.2可得,9/19/20236,外积的运算性质,11/17/2024,7,外积的运算性质9/19/20237,外积的运算性质,因此,最后,由反交换律可得右分配律.,11/17/2024,8,外积的运算性质因此最后,由反交换律可得右分配律.9/19/,外积的计算,则,从而,证明:由外积的性质易得.,11/17/2024,9,外积的计算则从而证明:由外积的性质易得.9/19/2023,外积的计算:说明,1)外积计算公式也形式地记为,因此,平行四边形的面积为,11/17/2024,10,外积的计算:说明1)外积计算公式也形式地记为因此,平行,外积的计算：例题,解:先求得,于是,11/17/2024,11,外积的计算：例题解:先求得于是9/19/202311,外积的计算：例题,已知空间3点 A(1,1,0),B(1,2,1),C(0,1,2).,求三角形ABC的面积;,求AB边上的高.,解:三角形ABC的面积为以AB,AC为邻边的平行四边形的,面积的一半,所以,=(2,1,1).,AB边上的高：,11/17/2024,12,外积的计算：例题已知空间3点 A(1,1,0),B(1,外积与内积在立体几何中的应用,立体几何中的夹角与距离的问题可以转化为向量的计算问题.,建立适当的直角坐标系后,应用外积与内积有时可以简化计算过程,或者使得思路变得简单.,这里将涉及点到直线的距离,二面角,直线与平面的夹角,点到平面的距离等.,点到直线的距离.,设,P,为空间一点,l,为一空间直线.,在直线上任取两点,A,B,11/17/2024,13,外积与内积在立体几何中的应用立体几何中的夹角与距离的问题可以,点到直线的距离：例题,求点,M,到直线,PQ,距离.,解:建立如图的直角坐标系,得,于是,11/17/2024,14,点到直线的距离：例题求点 M 到直线 PQ 距离.解:建立,二面角,则这两个平面所成的二面角等于,或,11/17/2024,15,二面角则这两个平面所成的二面角等于或9/19/202315,直线与平面的夹角,则直线与平面的夹角为,11/17/2024,16,直线与平面的夹角则直线与平面的夹角为9/19/202316,点到平面的距离,在平面上任取一点,A,11/17/2024,17,点到平面的距离在平面上任取一点 A,9/19/202317,例题 7.4,求,解:先给出相关点的坐标:,11/17/2024,18,例题 7.4求解:先给出相关点的坐标:9/19/20231,例题 7.4,11/17/2024,19,例题 7.49/19/202319,例题 7.4,平面,BPQ,的法向量为,平面,MPQ,的法向量为,可以看出该二面角为钝角,11/17/2024,20,例题 7.4平面 BPQ 的法向量为平面 MPQ 的法向量为,例题 7.4,=4,11/17/2024,21,例题 7.4=49/19/202321,二重外积,命题 7.4.,proof,由反交换律得到,可见,向量的外积不满足结合律.,例.证明雅可比恒等式:,证：,三式相加即得.,11/17/2024,22,二重外积命题 7.4.proof由反交换律得到可见,向量,命题 7.4 的证明,命题 7.4,证:,取一个右手系直角坐标系,有,同理可得,所以命题成立.,back,11/17/2024,23,命题 7.4 的证明命题 7.4 证:取一个右手系直角坐标系,