单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第6节 目标规划方法,目标规划模型,求解目标规划的单纯形方法,1,通过上节的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。,这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李（S.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题的一般性方法单纯形方法。,2,一、目标规划模型,给定若干目标以及实现这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标值的偏差最小。,（一）根本思想,3,例1,：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8元和10元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1台时和2台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的设备总台时为10台时。试问：如何确定其生产方案？,（二）目标规划的有关概念,4,如果断策者所追求的唯一目标是使总产值到达最大，则这个企业的生产方案可以由如下线性规划模型给出：求 ，使,（6.3.1）,而且满足,式中：和为决策变量，为目标函数值。将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最正确决策方案为 （万元）。,5,但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等一系列其他条件，如：,根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。,超过方案供给的原材料，需用高价采购，这就会使生产本钱增加。,应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。,应尽可能到达并超过方案产值指标56万元。,这样，该企业生产方案确实定，便成为一个多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。,6,为了建立目标规划数学模型，下面引入有关概念。,偏差变量,在目标规划模型中，除了决策变量外，还 需要引入正、负偏差变量 、。其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的局部，负偏差变量表示决策值未到达目标值的局部。,因为决策值不可能既超过目标值同时又未到达目标值，故有 成立。,7,绝对约束和目标约束,绝对约束，必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。,8,目标约束，目标规划所特有的，可以将约束方程右端项看做是追求的目标值，在到达此目标值时允许发生正的或负的偏差，可参加正负偏差变量，是软约束。,线性规划问题的目标函数，在给定目标值和参加正、负偏差变量后可以转化为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束转化为目标约束。,9,优先因子（优先等级）与权系数,一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑,往往是有主次或轻重缓急的。凡要求第一位到达的目标赋予优先因子 ，次位的目标赋予优先因子 ，并规定 表示 比,有更大的优先权。这就是说，首先保证,级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而 级目标是在实现 级目标的基础上考虑的；依此类推。,，,10,若要区别具有相同优先因子 的目标的差异，就可以分别赋予它们不同的权系数 。这些优先因子和权系数都由决策者按照具体情况而定。,11,目标函数,目标规划的目标函数（准则函数）是按照各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每一目标确定后，尽可能缩小与目标值的偏离。因此，目标规划的目标函数只能是,根本形式有3种：,(6.3.5）,12,要求恰好到达目标值，就是正、负偏差变量都要尽可能小,即,（6.3.6）,要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能小，即,（6.3.7）,13,要求超过目标值，也就是超过量不限，但负偏差变量要尽可能小，即,（6.3.8）,在实际问题中，可以根据决策者的要求，引入正、负偏差变量和目标约束，并给不同目标赋予相应的优先因子和权系数，构造目标函数，建立模型。,14,例2：在例1中，如果断策者在原材料供给受严格控制的基础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不小于56万元。并分别赋予这3个目标优先因子 。试建立该问题的目标规划模型。,15,解,：根据题意，这一决策问题的目标规划模型是,（6.3.9）,（6.3.10）,（6.3.11）,（6.3.12）,（6.3.13）,（6.3.14）,16,假定有,L,个目标，,K,个优先级(,K,L,)，,n,个变量。在同一优先级 中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别为 、，则多目标规划问题可以表示为,（三）目标规划模型的一般形式,（6.3.15）,（6.3.16）,（6.3.17）,（6.3.18）,（6.3.19）,17,在以上各式中,：,、分别为赋予 优先因子的第 个目标的正、负偏差变量的权系数,；,为第 个目标的预期值,；,为决策变量,；,、分别为第 个目标的正、负偏差变量,。,18,（6.3.15）式为目标函数;,（6.3.16）式为目标约束;,（6.3.17）式为绝对约束;,（6.3.18）式和（6.3.19）式为非负约束;,、分别为目标约束和绝对约束中决策变量的系数及约束值。其中,：,；。,19,二、求解目标规则的单纯形方法,目标规划模型仍可以用单纯形方法求解,，在求解时作以下规定：,因为目标函数都是求最小值，所以，最优判别检验数,为,因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子,20,所以检验数的正、负首先决定于 的系数 的正、负，若 ，则检验数的正、负就决定于 的系数 的正、负，下面可依此类推。,据此，我们可以总结出求解目标规划问题的单纯形方法的计算步骤如下：,建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别排成,L,行，置 。,21,检查该行中是否存在负数，且对应的前,L,-1行的系数是零。若有，取其中最小者对应的变量为换入变量，转,。若无负数，则转,。,按最小比值规则（规则）确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。,按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回,。,当,l,=,L,时，计算结束，表中的解即为满意解。否则置,l,=,l,+1，返回,。,22,例3,：试用单纯形法求解例2所描述的目标规划问题,解：,首先将这一问题化为如下标准形式,23,(1)取 ,为初始基变量，列出初始单纯形表,。,表6.3.1,24,(2)取 ，检查检验数的 行，因该行无负检验数，故转(5),。,(5)因为 ，置 ，返回(2)。,(2)检查发现检验数 行中有 ，因为有 ，所以 为换入变量，转入(3)。,25,(3按 规则计算：，所以 为换出变量，转入(4)。,(4)进行换基运算，得到表6.3.2。以此类推，直至得到最终单纯形表为止，如表6.3.3所示。,26,表6.3.2,27,表6.3.3,由表6.3可知，为满意解。检查检验数行，发现非基变量的检验数为0，这说明该问题存在多重解。,28,表6.3.4,在表6.3.3中，以非基变量 为换入变量，为换出变量，经迭代得到表6.3.4。,从表6.3.4可以看出，也是该问题的满意解。,29,