-,*,-,3,.2.1.1,抛物线及其标准方程,1,.,理解抛物线的定义及其标准方程的形式,.,2,.,了解抛物线的焦点、准线,.,3,.,掌握抛物线标准方程的四种形式,并能说出各自的特点,从而培养用数形结合的方法处理问题的能力及分类讨论的数学思想,.,1,.,抛物线的定义,平面内与一个定点,F,和一条定直线,l,(,l,不过,F,),的距离,相等,的点的集合叫作抛物线,.,这个定点,F,叫作抛物线的,焦点,这条定直线,l,叫作抛物线的,准线,.,【做一做,1,】,若,A,是定直线,l,外的一定点,则过点,A,且与,l,相切的圆的圆心的轨迹是,(,),A.,圆,B.,椭圆,C.,双曲线的一支,D.,抛物线,答案,:,D,2,.,抛物线的标准方程,方程,y,2,=,2,px,x,2,=,2,py,(,p,0),叫作抛物线的,标准,方程,.,【做一做,2,-,2,】,已知抛物线的焦点坐标是,(0,-,3),则该抛物线的标准方程为,(,),A.,x,2,=-,12,y,B.,x,2,=,12,y,C.,y,2,=-,12,x,D.,y,2,=,12,x,答案,:,A,【做一做,2,-,3,】,抛物线,y,2,=,4,x,的准线方程是,焦点坐标是,.,解析,:,由,y,2,=,4,x,知,=,1,所以准线方程为,x=-,1,焦点坐标为,(1,0),.,答案,:,x=-,1,(1,0),题型一,题型二,题型三,题型四,【例,1,】,已知下列抛物线的方程,分别求其焦点坐标和准线方程,:,(1),y,2,=,8,x,;(2)2,x,2,+,5,y=,0;(3),y,2,=ax,(,a,0),.,分析,:,解答本题可先把原方程转化为标准方程,求得参数,p,再求焦点坐标和准线方程,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,2,】,分别求适合下列条件的抛物线的标准方程,.,(1),过点,(,-,3,2);(2),焦点在直线,x-,2,y-,4,=,0,上,.,分析,:,根据已知条件求出抛物线的标准方程中的,p,即可,注意标准方程的形式,.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2),当焦点在,y,轴上时,令,x=,0,由方程,x-,2,y-,4,=,0,得,y=-,2,.,抛物线的焦点为,F,(0,-,2),.,设抛物线方程为,x,2,=-,2,py,(,p,0),则由,=,2,得,2,p=,8,.,所求的抛物线方程为,x,2,=-,8,y.,当焦点在,x,轴上时,令,y=,0,由,x-,2,y-,4,=,0,得,x=,4,.,抛物线的焦点为,F,(4,0),.,设抛物线方程为,y,2,=,2,px,(,p,0),由,=,4,得,2,p=,16,.,所求的抛物线方程为,y,2,=,16,x.,故所求的抛物线的标准方程为,x,2,=-,8,y,或,y,2,=,16,x.,反思,本题可以用待定系数法来求解,但要注意解题方法与技巧,.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,2,】,根据下列条件求抛物线的标准方程,.,(1),焦点坐标是,F,(0,-,2);,(3),焦点在,x,轴负半轴上,焦点到准线的距离是,5;,(4),过点,P,(,-,2,-,4),.,题型一,题型二,题型三,题型四,(4),如图所示,因为点,P,在第三象限,所以满足条件的抛物线的标准方程为,y,2,=-,2,p,1,x,(,p,1,0),或,x,2,=-,2,p,2,y,(,p,2,0),.,分别将点,P,的坐标代入上述方程,解得,p,1,=,4,p,2,=.,因此,满足条件的抛物线有两条,它们的方程分别为,y,2,=-,8,x,和,x,2,=-y.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,3,】,已知抛物线的顶点在原点,焦点在,x,轴上,抛物线上的点,M,(3,m,),到焦点的距离等于,5,求该抛物线方程和,m,的值,.,分析,:,根据已知条件设出抛物线方程,再利用点,M,在抛物线上和点,M,到焦点的距离等于,5,列出关系式,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,方法二是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线的距离,既快捷,又方便,要善于转化,.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点,忽视,p,的几何意义,在抛物线标准方程,y,2,=,2,px,(,p,0),中,p,的几何意义是表示焦点到准线的距离,p,0,形如,y,2,=mx,(,m,0),的抛物线,有些同学认为,2,p=m,对,m,只看表面,没有考虑,m,0),代入点,P,的坐标可得,p=,此时抛物线方程为,y,2,=x,;,若开口向下,设其方程为,x,2,=-,2,py,(,p,0),代入点,P,的坐标可得,p=,4,此时抛物线方程为,x,2,=-,8,y.,另外,也可采用检验法快速得出正确答案,.,答案,:,A,1 2 3 4 5,3.,抛物线,y,2,=ax,的准线方程为,(,),答案,:,B,1 2 3 4 5,4.,设抛物线,y,2,=,8,x,上一点,P,到,y,轴的距离是,4,则点,P,到该抛物线焦点的距离是,.,解析,:,由题意知,P,到抛物线准线的距离为,4,-,(,-,2),=,6,由抛物线的定义知,点,P,到抛物线焦点的距离也是,6,.,答案,:,6,1 2 3 4 5,5.,求下列抛物线的焦点坐标和准线方程,.,(1),y,2,=,40,x,;,(2)4,x,2,=y,;,(3)3,y,2,=,5,x,;,(4)6,y,2,+,11,x=,0,.,