单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,24.2,直线和圆的位置关系,第,2,课时 切线的性质与判定,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.2 直线和圆的位置关系第2课时 切线的性质与判定导入,1.,判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线,.,2.,理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理,.,（重点）,3.,能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题,.,（难点）,学习目标,1.判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.学习,砂轮上打磨工件时飞出的火星,右图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？,导入新课,情境引入,砂轮上打磨工件时飞出的火星右图中让你感受到了直线与圆的哪种位,A,B,C,问题：,已知圆,O,上一点,A,，怎样根据圆的切线定义过点,A,作圆,O,的切线？,观察,：,（,1,）,圆心,O,到直线,AB,的距离,和圆的半径有什么数量关系,?,（,2),二者位置有什么关系？为什么？,讲授新课,切线的判定定理,一,ABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的,切线,.,OA,为,O,的,半径,BC,OA,于,A,BC,为,O,的,切线,A,B,C,切线的判定定理,应用格式,知识要点,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为O,判一判：,下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？,O,.,A,O,.,A,B,A,O,(1),(2),(3),(1),不是，因为没有垂直,.,(2),(3),不是，因为没有经过半径的外端点,A,.,在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线,.,注意,判一判：O.AO.ABAO(1)(2)(3)(1)不是，因为,判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：,1.,定义法：,直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线,;,要点归纳,2.,数量关系法：,圆心到这条直线的距离等于半径,(,即,d,=,r,),时，直线与圆相切；,3.,判定定理：,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,l,A,l,O,l,r,d,判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只,例,1,已知：直线,AB,经过,O,上的点,C,，并且,OA,=,OB,，,CA,=,CB,.,求证：直线,AB,是,O,的切线,.,O,B,A,C,分析：由于,AB,过,O,上的点,C,，所以连接,OC,，,只要证明,AB,OC,即可,.,证明,：,连接,OC,(,如图,),.,OA,OB,CA,CB,OC,是等腰三角形,OAB,底边,AB,上的中线,.,AB,OC,.,OC,是,O,的半径,AB,是,O,的切线,.,典例精析,例1 已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=,例,2,如图,ABC,中，,AB,AC,，,O,是,BC,中点，,O,与,AB,相切于,E,.,求证：,AC,是,O,的切线,B,O,C,E,A,分析：根据切线的判定定理，要证明,AC,是,O,的切线，只要证明由点,O,向,AC,所作的垂线段,OF,是,O,的半径就可以了,，,而,OE,是,O,的半径,，,因此只需要证明,OF,=,OE,.,F,例2 如图,ABC 中，AB AC，O 是BC中点,证明：,连接,OE,，,OA,过,O,作,OF,AC.,O,与,AB,相切于,E,，,OE,AB.,又,ABC,中,，,AB,AC,，,O,是,BC,中点,AO,平分,BAC,，,F,B,O,C,E,A,OE,OF.,OE,是,O,半径,，,OF,OE,，,OF,AC.,AC,是,O,的切线,又,OE,AB,，,OF,AC.,证明：连接OE，OA,过O 作OF AC.O 与A,如图，已知直线,AB,经过,O,上的点,C,，,并且,OA,OB,，,CA,CB,求证：直线,AB,是,O,的切线,.,C,B,A,O,如图，,OA,OB=5,，,AB,8,O,的直径为,6.,求证：直线,AB,是,O,的切线,.,C,B,A,O,对比思考,？,作垂直,连接,方法归纳,如图，已知直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CAC,思考：,如图，如果直线,l,是,O,的切线，点,A,为切点，那么,OA,与,l,垂直吗？,A,l,O,直线,l,是,O,的切线，,A,是切点，,直线,l,OA.,切线的性质定理,二,切线性质,圆的切线垂直于经过切点的半径,应用格式,思考：如图，如果直线l是O 的切线，点A为切点，那么OA与,小亮的理由是,:,直径,AB,与直线,CD,要么垂直,要么不垂直,.,（,1,）,假设,AB,与,CD,不垂直,过点,O,作一条直径垂直于,CD,垂足为,M,（,2,）,则,OM,OA,即圆心到直线,CD,的距离小于,O,的半径,因此,CD,与,O,相交,.,这与已知条件“直线与,O,相切”相矛盾,.,C,D,B,O,A,（,3,）,所以,AB,与,CD,垂直,.,M,证法,1,：,反证法,.,性质定理的证明,小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.（,C,D,O,A,证法,2,：,构造法,.,作出小,O,的同心圆大,O,，,CD,切小,O,于点,A,且,A,点为,CD,的中点，连接,OA,根据垂径定理，则,CD,OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径,CDOA证法2：构造法.作出小O的同心圆大O，CD切小,1.,如图：在,O,中，,OA,、,OB,为半径，直线,MN,与,O,相切于点,B,，若,ABN=30,，则,AOB=,.,2.,如图,AB,为,O,的直径，,D,为,AB,延长线上一点，,DC,与,O,相切于点,C,，,DAC=30,，若,O,的半径长,1cm,，则,CD=,cm.,60,练一练,1.如图：在O中，OA、OB为半径，直线MN与O相切于点,方法总结,利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题,.,方法总结 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连,1.,判断下列命题是否正确,.,经过半径外端的直线是圆的切线,.,垂直于半径的直线是圆的切线,.,过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是,圆的切线,.,和圆只有一个公共点的直线是圆的切线,.,过直径一端,点,且垂直于直径的直线是圆的切线,.,（,）,（,）,（,）,（,）,（,）,当堂练习,1.判断下列命题是否正确.（）（）（）（,3.,如图，在,O,的内接四边形,ABCD,中，,AB,是直径，,BCD,=120,，,过,D,点的切线,PD,与直线,AB,交于点,P,，,则,ADP,的度数为（,）,A,40,B,35,C,30,D,45,2.,如图所示，,A,是,O,上一点，且,AO,=5,PO,=13,AP,=12,则,PA,与,O,的位置关系是,.,A,P,O,第,2,题,P,O,第,3,题,D,A,B,C,相切,C,3.如图，在O的内接四边形ABCD中，AB是直径，BCD,4.,如图，已知,AB,是,O,的切线，半径,OC,的延长线与,AB,相交于点,B,，且,OC=BC,。,（,1,）求证：,AC=OB,.,（,2,）求,B,的度数,.,【,方法提示,】,不需要辅助线时，常利用直角三角形的性质来解题,.,4.如图，已知AB是 O的切线，半径OC的延长线与AB相交,证明：连接,OP,.,AB,=,AC,B,=,C,.,OB,=,OP,，,B,=,OPB,，,OBP,=,C,.,OPAC,.,PE,AC,，,PE,OP,.,PE,为,O,的切线,.,5.,如图,ABC,中，,AB,=,AC,，,以,AB,为直径的,O,交边,BC,于,P,，,PE,AC,于,E,.,求证,:,PE,是,O,的切线,.,O,A,B,C,E,P,证明：连接OP.5.如图,ABC中，AB=AC，以AB为直,证明：,作,OEAB,于,E,AB,是,O,的切线,.,6.,如图，,O,的半径为,8,厘米，圆内的弦,AB,为 厘米，,以,O,为圆心，,4,厘米为半径作小圆,.,求证：小圆与直线相切,。,则,AE=BE,连结,OA,AB,=,AE=,又小,O,半径为,4,厘米,OE,等于小圆半径,E,作垂直 证半径,证明：作OEAB于EAB是O的切线.6.如图，O的半,拓展提升：,已知：,ABC,内接于,O,，过点,A,作直线,EF,.,（,1,）,如图,1,，,AB,为直径，要使,EF,为,O,的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：,_,；,_.,（,2,）,如图,2,，,AB,是非直径的弦，,CAE,=,B,，,求证：,EF,是,O,的切线,.,BA,EF,CAE,=,B,证明：连接,AO,并延长交,O,于,D,连接,CD,则,AD,为,O,的直径,.,D,+,DAC,=90,D,与,B,同对,D,=,B,又,CAE,=,B,D,=,CAE,DAC,+,EAC,=90,EF,是,O,的切线,.,A,F,E,O,A,F,E,O,B,C,B,C,图,1,图,2,拓展提升：已知：ABC内接于O，过点A作直线EF.BA,切线的,判定方法,定义法,数量关系法,判定定理,1,个公共点，则相切,d,=,r,，,则相切,经过半径的外端并且,垂直,于这条半径的直线是圆的切线,切线的,性质,证切线时常用辅助线添加方法：,有公共点，连半径，证垂直；,无公共点，作垂直，证半径,.,有,1,个公共点,d,=,r,性质定理,圆的切线,垂直,于经过切点的半径,有切线时常用辅助线,添加方法：,见切线，连切点，得垂直,.,课堂小结,切线的定义法数量关系法判定定理1个公共点，则相切d=r，则相,