单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,39,与空间角和距离有关的计算,39与空间角和距离有关的计算,1,两条异面直线所成的角,设,a,，,b,分别是两异面直线,l,1,，,l,2,的方向向量，则,l,1,与,l,2,所成的角,a,与,b,的夹角,a,，,b,范围,求法,1两条异面直线所成的角l1与l2所成的角a与b的夹角a,2,直线与平面所成的角,设直线,l,的方向向量为,a,，平面,的法向量为,n,，直线,l,与平面,所成的角为,，则,sin,|cos,a,，,n,|,_,3,点到平面的距离的向量求法,如图，设,AB,为平面,的一条斜线段，,n,为平面,的法向量，则点,B,到平面,的距离,d,_,2直线与平面所成的角,4,二面角,4二面角,考点39-与空间角和距离有关的计算课件,考向,1,向量法求线线角、线面角,用向量法求线线角、线面角是立体几何的常见题型，是高考的热点问题，向量法是一种常用的解决问题的方法，使用范围较广,利用向量法求线线角、线面角时，关键是恰当建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标高考试题不仅要求学生,“,能算,”,还要求学生,“,会算,”,，即在运算中讲究一定的策略与技巧,考向1 向量法求线线角、线面角,例,1(1)(2015,四川,，,14),如图,1,，四边形,ABCD,和,ADPQ,均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点,M,在线段,PQ,上，,E,，,F,分别为,AB,，,BC,的中点设异面直线,EM,与,AF,所成的角为,，则,cos,的最大值为,_,例1(1)(2015四川，14)如图1，四边形ABCD和,(2)(2016,课标,，,19,，,12,分,),如图,2,，四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AD,BC,，,AB,AD,AC,3,，,PA,BC,4,，,M,为线段,AD,上一点，,AM,2,MD,，,N,为,PC,的中点,证明,MN,平面,PAB,；,求直线,AN,与平面,PMN,所成角的正弦值,【,解析,】,(1),由题意得,AQ,平面,ABCD,且,AB,AD,，如图，以,A,为原点，,AB,，,AD,，,AQ,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系设正方形的边长为,2,，则,E,(1,，,0,，,0),，,F,(2,，,1,，,0),(2)(2016课标，19，12分)如图2，四棱锥PA,设,M,(0,，,y,，,2)(0,y,2),，,设M(0，y，2)(0y2)，,考点39-与空间角和距离有关的计算课件,又,AD,BC,，故,TN,綊,AM,，四边形,AMNT,为平行四边形，于是,MN,AT,.,因为,AT,平面,PAB,，,MN,平面,PAB,，所以,MN,平面,PAB,.,又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是,考点39-与空间角和距离有关的计算课件,考点39-与空间角和距离有关的计算课件,1,求异面直线所成角的方法思路,1求异面直线所成角的方法思路,2,利用向量法求线面角的方法,(1),分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角,(,锐角或直角时,),或其补角,(,钝角时,),；,(2),通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角,2利用向量法求线面角的方法,变式训练,(2015,课标,，,19,，,12,分,),如图，长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,16,，,BC,10,，,AA,1,8,，点,E,，,F,分别在,A,1,B,1,，,D,1,C,1,上，,A,1,E,D,1,F,4.,过点,E,，,F,的平面,与此长方体的面相交，交线围成一个正方形,(1),在图中画出这个正方形,(,不必说明画法和理由,),；,(2),求直线,AF,与平面,所成角的正弦值,变式训练(2015课标，19，12分)如图，长方体AB,解,：,(1),交线围成的正方形,EHGF,如图,(2),作,EM,AB,，垂足为,M,，,则,AM,A,1,E,4,，,EM,AA,1,8.,因为四边形,EHGF,为正方形，,所以,EH,EF,BC,10.,解：(1)交线围成的正方形EHGF如图,考点39-与空间角和距离有关的计算课件,考点39-与空间角和距离有关的计算课件,考向,2,向量法求二面角,高考中，二面角问题是各种角度问题中出现频率最高的，考查方式有两种：,(1),直接求二面角的大小,(,或其正弦值、余弦值、正切值,),；,(2),已知二面角的大小，求相关的量或参数值,(,如体积、长度、直线与平面所成的角等,),涉及二面角时，若易建立空间直角坐标系，则一般用向量法解决，以解答题形式出现，难度较大,考向2 向量法求二面角,(1),求异面直线,A,1,B,与,AC,1,所成角的余弦值；,(2),求二面角,B,A,1,D,A,的正弦值,(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；,【,解析,】,在平面,ABCD,内，过点,A,作,AE,AD,，交,BC,于点,E,.,因为,AA,1,平面,ABCD,，,所以,AA,1,AE,，,AA,1,AD,.,【解析】在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E,考点39-与空间角和距离有关的计算课件,考点39-与空间角和距离有关的计算课件,考点39-与空间角和距离有关的计算课件,向量法求二面角大小的两种方法,(1),分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小,(2),分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小,向量法求二面角大小的两种方法,变式训练,(2016,课标,，,18,，,12,分,),如图，在以,A,，,B,，,C,，,D,，,E,，,F,为顶点的五面体中，面,ABEF,为正方形，,AF,2,FD,，,AFD,90,，且二面角,D,AF,E,与二面角,C,BE,F,都是,60.,(1),证明：平面,ABEF,平面,EFDC,；,(2),求二面角,E,BC,A,的余弦值,变式训练(2016课标，18，12分)如图，在以A，B,解,：,(1),证明：由已知可得,AF,DF,，,AF,FE,，,所以,AF,平面,EFDC,.,又,AF,平面,ABEF,，,故平面,ABEF,平面,EFDC,.,(2),如图，过,D,作,DG,EF,，垂足为,G,，,由,(1),知,DG,平面,ABEF,.,解：(1)证明：由已知可得AFDF，AFFE，,由已知，,AB,EF,，,所以,AB,平面,EFDC,.,又平面,ABCD,平面,EFDC,CD,，,故,AB,CD,，,CD,EF,.,由已知，ABEF，,考点39-与空间角和距离有关的计算课件,考点39-与空间角和距离有关的计算课件,