,一、阶行列式的定义,2,、余子式与代数余子式（定义,2.7,）,为 元的,代数余子式,例如,例：,用余子式与代数余子式表达,2,，,3,阶行列式,例：,用余子式与代数余子式表达,2,，,3,阶行列式,例,1,计算行列式,解,按第一行展开，得,例,2,计算下列 阶行列式,1,、对角形行列式；,2,、下三角行列式；,3,、次下三角行列式,定理,2.2,行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证（略）,二、行列式的展开定理,三、行列式的性质,性质,1,行列式与它的转置行列式相等,.,说明,:,行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列,也同样成立,.,定理,2.3,行列式等于它的任一列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,行列式的按列展开定理,性质,2,行列式的某一列（行）元素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论,若,行列式中有全零行（列），则行列式的值为零,性质,3,若将行列式的某一列（行）的所有元素都拆为两项之和，,则该行列式可分拆为两个行列式的和，即,：,性质,4,如果行列式有两列（行）完全相同，则此行列式为零,.,证（略）提示：可采用数学归纳法，,并利用展开定理,推论,行列式中如果有两列（行）元素成比例，则此行列式为零,性质,5,把行列式的某一列（行）的各元素的 倍加到另一列,(,行,),对应的元素上去，行列式的值不变,性质,6,互换行列式的两列（行）,行列式变号,.,例如,思考：,定理,2.4,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,(“,异乘变零,”,),转置性质；,拆项性质；,初等变换性质；,特殊结论。,小结,1,行列式的基本运算性质,例,3,计算行列式,解,例,4,例,5,解,