,单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,教学过程,一、几个概念,1,）两个向量的夹角的定义,O,A,B,2,）两个向量的数量积,注意：,两个向量的数量积是数量，而不是向量,.,零向量与任意向量的数量积等于零。,3,）射影,B,A,A,1,B,1,注意：是轴,l,上的正射影,A,1,B,1,是一个可正可负的实数，,它的符号代表向量与,l,的方向的相对关系，大小代表,在,l,上射影的长度。,4),空间向量的数量积性质,注意：,性质,2,）是证明两向量垂直的依据；,性质,3,）是求向量的长度（模）的依据；,对于非零向量，有：,5),空间向量的数量积满足的运算律,注意：,数量积不满足结合律,二、课堂练习,A,D,F,C,B,E,三,、,典型例题,例,1,：已知,m,n,是平面,内的两条相交直线，直线,l,与,的交点为,B,，且,lm,，,ln,，求证：,l,分析：由定义可知，只需证,l,与平面内任意直线,g,垂直。,n,m,g,g,m,n,l,l,要证,l,与,g,垂直，只需证,l,g,0,而,m,，,n,不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对,(x,y),使得,g=xm+yn,要证,l,g,0,只需,l,g=xl,m+yl,n=0,而,l,m,0,，,l,n,0,故,l,g,0,三,、,典型例题,例,1,：已知,m,n,是平面,内的两条相交直线，直线,l,与,的交点为,B,，且,lm,，,ln,，求证：,l,n,m,g,g,m,n,l,l,证明：在,内作不与,m,、,n,重合的任一条直线,g,在,l,、,m,、,n,、,g,上取非零向,量,l,、,m,、,n,、,g,，因,m,与,n,相交，得向量,m,、,n,不平行，由共面向量定理,可知，存在唯一的有序实数对（,x,，,y,），使,g,=x,m,+y,n,l,g,=x,l,m,+y,l,n,l,m,=0,l,n,=0,l,g,=0,lg,lg,这就证明了直线,l,垂直于平面,内的任一条直线，所以,l,例,2,：已知：在空间四边形,OABC,中，,OABC,，,OBAC,，求证：,OCAB,A,B,C,O,巩固练习：,利用向量知识证明三垂线定理,a,A,O,P,例,3,如图，已知线段在平面 内，线段,，线段，线段，如,果，求、之间的距离。,解：由，可知,.,由 知,.,课堂练习（课本,P92,）,2,已知在平行六面体中，,求对角线的长。,解：,3.,已知线段、在平面 内，线段,，如果，求、之间的距离,.,解：,4.,已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,，点分别是边的中点。,求证：。,证明：因为,所以,同理，,5.,已知空间四边形,，求证：。,证明：,6.,如图，已知正方体，和 相交于,点，连结，求证：。,再见！,再见！,再见！,典例分析,例,1,：已知平行六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,，,求满足下列各式的,x,的值。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,例,2,如图，已知平行四边形,ABCD,，从平,面,AC,外一点,O,引向量,求证：,四点,E,、,F,、,G,、,H,共面；,平面,EG/,平面,AC,。,例,3,：已知,m,n,是平面,内的两条相交直线，直线,l,与,的交点为,B,，且,lm,，,ln,，求证：,l,分析：由定义可知，只需证,l,与平面内任意直线,g,垂直。,n,m,g,g,m,n,l,l,要证,l,与,g,垂直，只需证,l,g,0,而,m,，,n,不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对,(x,y),使得,g=xm+yn,要证,l,g,0,只需,l,g=xl,m+yl,n=0,而,l,m,0,，,l,n,0,故,l,g,0,例,3,：已知,m,n,是平面,内的两条相交直线，直线,l,与,的交点为,B,，且,lm,，,ln,，求证：,l,n,m,g,g,m,n,l,l,证明：在,内作不与,m,、,n,重合的任一条直线,g,在,l,、,m,、,n,、,g,上取非零向,量,l,、,m,、,n,、,g,，因,m,与,n,相交，得向量,m,、,n,不平行，由共面向量定理,可知，存在唯一的有序实数对（,x,，,y,），使,g,=x,m,+y,n,l,g,=x,l,m,+y,l,n,l,m,=0,l,n,=0,l,g,=0,lg,lg,这就证明了直线,l,垂直于平面,内的任一条直线，所以,l,例,4,如图，已知线段在平面 内，线段,，线段，线段，如,果，求、之间的距离。,解：由，可知,.,由 知,.,