单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,处理有特点的大矩阵时需要进行分块,分法,:,将矩阵用纵线和横线分成若干小,矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的,子块,.,2.3,分块矩阵,定义,以子块为元素的矩阵称为,分块阵,.,2.3.1,分块矩阵的概念,2,常用分块方式,分成四块,.,例如,:,特殊,A,视为一个子块,视为一个子块,3,按列分块,.,例如,:,按行分块,.,例如,:,4,分块对角矩阵,分块三角矩阵,5,加法,:,原矩阵同形且分块方式相同,数乘,:,分块方式任意,2.3.2,分块矩阵的运算,6,乘法,:,AB,=,C,(,A,m,p,B,p n,),A,的,列,数,=,B,的,行,数,A,的,列,的分法,=,B,的,行,的分法,7,例,1,8,转置,:,特别,9,当,A,i,是方阵时,，,方阵的幂及行列式,:,（,分块对角矩阵的行列式）,10,分块三角阵的行列式,:,当,A,i,是方阵时,，,11,对角阵的逆矩阵,:,当,|,A,i,|,0,时,即,A,i,可逆时,A,可逆,12,求,及,例,2,解,设,13,14,例,3,设,求,15,说明,B,的每一列都是齐次线性方程组,AX=,0,的一个解,.,*,例,4,A,为一子,块,尤其要注意 时的特殊情况,:,16,的不同理解,:,例,5,17,本节内容提要,利用,分块矩阵的初等变换求秩,分块矩阵的初等变换,2.3.3,分块矩阵的初等变换,分块初等阵,18,对分块矩阵也可以引进初等变换和,初等矩阵的概念,.,分块矩阵,关于子块的,一次初等变换,可以看作是关于,元素,的,一批初等变换,的合成,.,我们只以分成,4,块,的情况简单解释,.,设,2.3.3,分块矩阵的初等变换,19,定义,下面三种针对分块矩阵,M,的变形,统称为分块矩阵的初等变换,:,初等,行,变换,初等,列,变换,(1),换法,:,(2),倍法,:,(3),消法,:,这里要假定运算满足可行性原则,.,为什么要求,P,可逆,?,可逆,矩阵,20,分块初等阵,分块单位阵,一次,初等变换,2.3.3,分块初等阵,换法,:,倍法,:,消法,:,21,对分块矩阵进行一次初等,行,(,列,),变换,相当于给它,左,(,右,),乘以一个相应的分,块初等矩阵：,换法,:,22,消法,:,倍法,:,23,分块初等变换不改变分块阵的,秩,.,消法分块初等变换保持,行列式值不变,.,用分块初等变换,求逆,.,对分块阵进行,一次,初等行,(,列,),变换,相当,于对原矩阵进行,一系列,初等行,(,列,),变换,.,分块,行,分块,列,24,例,1,求,其中,A,，,B,可逆,.,解,行,行,行,25,总结：常用的分块矩阵求逆公式,设,A,B,都是可逆方阵,则有下列公式,.,26,证,例,2,用分块方法证明,其中,A,、,B,为,n,阶方阵,.,或,27,例,3,证,证明,其中,A,为,n,阶,可逆矩阵,B,为,m,阶,方阵,.,(,行列式第一降阶定理,),28,例,4,证明,|,E,m,-,AB,|,=,|,E,n,-,BA,|,其中,A,为,m,n,阶,矩阵,B,为,n,m,阶,阵,.,证,29,利用上式可得,时可见书上的说明,.,为任意数,.,30,注,本例的结果可以把,m,阶的行列式转化,为,n,阶的行列式计算,此时可称为,(,降阶公式,).,尤其是当,n,=1,时,即,A,为,1,列,B,为,1,行时,等式的右端即为,1,个数,.,31,例,5,计算,解,32,