单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,进 入,学案2 导数的应用,名师伴你行,SANPINBOOK,进 入 学案2 导数的应用名师伴你行SANPINBO,1,考点一,考点二,考点三,名师伴你行,SANPINBOOK,考点一考点二考点三名师伴你行SANPINBOOK,2,返回目录,1.函数的单调性,（1）一般地，设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果,0,则f(x)为,；如果 0，则 f(x)为,.,（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法:,确定函数f(x)的定义区间;,求 ，令,，解此方程，求出它在定义 区间内的一切实根;,增函数,减函数,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录 1.函数的单调性增函数 减函数 名师伴你行S,3,把函数f(x)的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;,确定f(x)在各小开区间内的符号，根据,判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.,2.可导函数的极值,(1)极值的概念,一般地，设函数f(x)在点x,0,附近有定义,如果对x,0,附近的所有的点，都有f(x)f(x,0,)，则称f(x,0,)为函数的一个,，称x,0,为,.,极大(小)值,极大（小）值点,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,把函数f(x)的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标和,4,（2）求可导函数f(x)的极值的步骤:,求导数 ；,求方程 =0的根；,检查 在方程 =0的根的左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得,；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数f(x)在这个根处取得,.,极大值,极小值,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,（2）求可导函数f(x)的极值的步骤:极大值 极小,5,.函数的最大值与最小值,（）设y=f(x)是定义在区间a,b上的函数，y=f(x)在（a,b）内有导数，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值，可分两步进行:,求f(x)在(a,b)内的极值;,将f(x)的各极值与,比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,（）若函数f(x)在a,b上单调递增，则 f(a)为函数的,，f(b)为函数的,；若函数 f(a)在a,b上单调递减，则f(a)为函数的,，f(b)为函数的,.,f(a),f(b),最小值,最大值,最大值,最小值,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,.函数的最大值与最小值f(a),f(b)最小值 最,6,考点一 函数的单调性与导数,【例1】,已知aR,求函数f(x)=x,2,e,ax,的单调区间.,【分析】,求f(x)的导数，令f(x)0即可求增区间；令0.,所以当a=0时,函数f(x)在区间(-,0)内为减函数,在区间(0,+)内为增函数.,(2)当a0时,由2x+ax,2,0,解得x0;,由2x+ax,2,0,解得-x0时,函数f(x)在区间（-,-）内为增函数,在区间（-,0）内为减函数,在区间(0,+)内为增函数.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【解析】函数f(x)的导数:名师伴你行SANPINBOOK返,8,(3)当a0,解得0 x-;,由2x+ax,2,-.,所以当a0时,函数f(x)在区间(-,0)内为减函数,在区间（0,-）内为增函数,在区间（-,+）内为减函数.,【评析】,本题通过求单调区间考查导数的性质，通过解不等式考查了学生的运算能力及分类讨论的数学思想.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,(3)当a0,即a4时，方程x,2,+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x,1,x,2,，不妨设x,1,x,2,于是f(x)=ex(x-x,1,)(x-x,2,).从而有下表：,x,(-,x,1,),x,1,(x,1,x,2,),x,2,(x,2,+),f(x),+,0,-,0,+,f(x),f(x,1,)为,极大值,f(x,2,)为,极小值,即此时f(x)有两个极值点.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【解析】f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+,15,（2）当=0即a=0或a=4时，方程x,2,+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x,1,=x,2,.,于是f(x)=e,x,(x-x,1,),2,故当x0；当xx,1,时，f(x)0，因此 f(x)无极值.,（3）当0即0a0,f(x)=e,x,x,2,+(a+2)x+(2a+1)0,故f(x)为增函数，此时 f(x)无极值.因此当a4或a0时，f(x)有2个极值点，当0a4时，f(x)无极值点.,【评析】,f(x)=0是函数在x=x,0,处取得极值的必要条件.,要注意总结求极值的步骤和方法.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,（2）当=0即a=0或a=4时，方程x2+(a+2)x+(,16,对应演练,设函数f(x)=ln(x+a)+x,2,.,（1）若当x=-1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；,（2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于 .,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,对应演练设函数f(x)=ln(x+a)+x2.名师伴你行,17,(1)f(x)=,依题意，有f(-1)=0,故a=.,则f(x)的定义域为（,+）.,当 0;,当-1x 时，f(x)时，f(x)0.,从而f(x)分别在区间（,-1）,（,+）上单调递增，在区间（-1,）上单调递减.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,(1)f(x)=,名师,18,(2)f(x)的定义域为（-a,+）,方程2x,2,+2ax+1=0的判别式=4a,2,-8.,若0,即-a0,故f(x)无极值.,若=0,则a=或-.,若a=,x(-,+),当x=时，f(x)=0;,当x（-,-）（-,+）时，,f(x)0，所以f(x)无极值.,若a=-,x(,+),f(x)=0,f(x)也无极值.,若0,即a 或a-,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,(2)f(x)的定义域为（-a,+）,名师伴你行SANPI,19,则2x,2,+2ax+1=0有两个不同的实根,当a-时，x,1,-a,x,2,时，x,1,-a,x,2,-a,f(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知f(x)在x=x,1,x=x,2,处取得极值.,综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(,+).,所以f(x)的极值之和为f(x,1,)+f(x,2,)=ln(x,1,+a)+ln(x,2,+a)+=ln +a,2,-11-ln2=ln .,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根名师伴你行,20,考点三 函数的最值与导数,【例3】,如图，甲、乙两人，甲位于乙的正东100 km处开始骑自行车以每小时20 km的速度向正西方向前进.与此同时，乙以每小时10 km的速度向其正北方向跑步前进.问经过多少时间甲、乙相距最近？,【分析】,引入变量，建立目标函数，用导数法求最值.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【例3】如图，甲、乙两人，甲位于乙的正东100 km处开始骑,21,【解析】,设经过x小时甲、乙相距f(x)km，此时甲到达位置A，乙到达位置B.,故,问题转化为在x0时，求f(x)的最小值点.,令f(x)=0得x=4.,在区间(0,4)内,f(x)0，函数f(x)单调递增.,故x=4为其极小值点，也是最小值点.,所以当x=4（小时）时，甲、乙两人相距最近为20 km.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【解析】设经过x小时甲、乙相距f(x)km，此时甲到达位置,22,【评析】,（1）注意到f(x)0，因而只要求出f(x),2,的最小值点即可.,（2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f(x)=0,且在两侧f(x)的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点，也是最值点.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【评析】名师伴你行SANPINBOOK返回目录,23,对应演练,某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+）x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.,（1）试写出y关于x的函数关系式；,（2）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,对应演练某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m米,24,（1）设需新建n个桥墩，则（n+1）x=m，,即 ，,所以y=f（x）=256n+（n+1）（2+）x,=256（）+（2+）x,=+m +2m-256.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,（1）设需新建n个桥墩，则（n+1）x=m，名师伴你行SAN,25,（2）由（1）知，f(x),令f(x)=0,得 =512，所以x=64.,当0 x64时，f（x）0，f（x）在区间（0，64）内为减函数；当64x640时，f(x)0,f(x)在区间（64，640）内为增函数，所以f（x）在x=64处取得最小值，此时n=-1=-1=9.,故需新建9个桥墩才能使y最小.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,（2）由（1）知，f(x)名师伴你行SANPINBOOK返,26,1,.利用导数的方法讨论函数的单调性要注意以下方面:,(1)是 递增的充分条件而非必要条件(也是如此);,(2)求单调区间时,首先要确定定义域,然后根据 (或 )解出定义域内相应的x的范围;,(3)在证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次要运用求导的方法来证明.,(4)在求函数的单调区间时,几个单调增(减)区间一般不要取并集,还要分开写,用“和”或“,”连接,但不能用“或”,要注意与的区别.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,1.利用导数的方法讨论函数的单调性要注意以下方面:名师伴你行,27,2,.求函数的极值可分以下几条：（1）求出可能的点，即f(x)=0的解x,0,与不可导点；（2）用确定极值的方法确定极值；（3）在a,b上的最值的求法：将(a,b)内的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当f(x)在(a,b)内有一个可能的点时，若在这一点处的f(x)有极大（小）值，则可以确定f(x)在该点处取到最大（小）值.,返回目录,2.求函数的极值可分以下几条：（1）求出可能的点，即f(x,28,祝同学们学习上天天有进步！,名师伴你行,SANPINBOOK,祝同学们学习上天天有进步！名师伴你行SANPINBOOK,29,