单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.3,向量组的极大无关线性组和秩,（,2,）如何找出这一组线性无关向量组？,（,3,）其余向量与这一组向量有何关系？,问题,（,1,）一个向量组（含有限多个向量，或无限多,个向量）线性无关的向量最多有几个？,4.3 向量组的极大无关线性组和秩（2）如何找出这一组线,定义,4.3.1,如果向量组 中的每个向量,都可以由向量组,线性表出，则称向量组,A,可由向量组,B,线性表出,.,若向量组,A,和向量组,B,可相互线性表出，称向量组,A,与向量组,B,等价。,即,1.,向量组的线性表出,定义4.3.1 如果向量组,定理,4.3.1,且,则向量组 必线性相关,.,若向量组,线性表出,;,可由,证明：给出 时的证明,.,为说明 线性相关，需找到三个不全为零的数 使,定理4.3.1且则向量组,代入上式，整理得,齐次线性方程组,所含方程个数小于未知量的个数，必有非零解,.,因此 线性相关,.,由已知，可由生成集 线性表出：,代入上式，整理得齐次线性方程组所含方程个数小于未知量的个数，,定理,4.3.3,两个等价的线性无关向量组，必包含相同个数的向量,.,定理,4.3.2,若线性无关向量组 可由向量组,线性表出，则,（逆否命题）,定理4.3.3 两个等价的线性无关向量组，必包含相同个数的,2.,极大线性无关组,注：,（,1,）只含零向量的向量组没有极大无关组,.,（,2,）任意,r,1,个向量（如果有）都线性相关,.,（,1,）（,II,）线性无关，,则称（,II,）是（,I,）的一个极大线性无关组,.,（,2,）一个线性无关向量组的极大无关组为其本身,.,（,2,）（,I,）中的任意向量可由（,II,）线性表出，,在条件（,1,）下，（,2,）等价于,定义,4.3.2,设,的一个部分组,.,如果,是,2.极大线性无关组注：（1）只含零向量的向量组没有极大无关组,例：在向量组,首先,线性无关，,又,线性相关，,所以,组成的部分组是极大无关组。,还可以验证,也是一个极大无关组。,注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。,中，,例：在向量组首先线性无关，又线性相关，所以组成的部分组是极大,极大无关组的一个基本性质：,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。,向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：,向量组的任意两个极大无关组都是等价的。,由于等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得,一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。,定理,4.3.5,极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本,3.,向量组的秩,定义,4.3.3,向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩，记作,例：向量组,秩为,2.,3.向量组的秩定义4.3.3 向量组的极大无关组所含向量的,关于向量组的秩的一些结论：,（,1,）零向量组的秩为,0.,（,2,）向量组,线性无关,线性表出，则,向量组,线性相关,（,3,）若向量组,可由向量组,关于向量组的秩的一些结论：（1）零向量组的秩为0.（2）向量,（,4,）等价的向量组必有相同的秩。,思考：两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表出，则这两个向量组等价,.,两个有相同的秩的向量组等价吗？,不一定,（4）等价的向量组必有相同的秩。思考：两个向量组有相同的秩，,例：,求向量组的秩和,一个极大无关组,.,并用该极大无关组线性表出向量组中的其余向量,.,4.,向量组的秩、极大无关组的求法,例：求向量组的秩和一个极大无关组.并用该极大无关组线性表出,解：,B,的,1,，,2,，,4,列是,B,的一个列极大无关组，,所以，,是,的一个极大无关组,.,B,有三个非零行，,思考：是否还有其他的极大无关组？,解：B的1，2，4列是B的一个列极大无关组，所以，是的一个极,进一步化,A,为行最简形,是,C,的一个列极大无关组,且,相应地有,进一步化A为行最简形是C的一个列极大无关组且相应地有,步骤：,（,1,）向量组,作列向量构成矩阵,A.,（,2,）,初等行变换,（阶梯形或行最简形矩阵）,r(A)=B,的非零行的行数,（,3,）求出,B,的列向量组的极大无关组,（,4,）,A,中与,B,的列极大无关组相对应部分的列向量组即为,A,的极大无关组。,（主元列）,步骤：（1）向量组作列向量构成矩阵A.（2）初等行变换（阶梯,