单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,圆周运动的应用,圆周运动的应用,1,、竖直平面内的圆周运动,（,1,）无支持物模型,临界条件：小球恰能过最高点,A,、能过最高点的条件：,B,、不能过最高点的条件：,思考,:,小球在竖直平面的运动情况,?,实际是球还没到最高点时就脱离了轨道,1、竖直平面内的圆周运动（1）无支持物模型临界条件：小球恰能,（,2,）有支持物模型,a,、当,v,=0,时，,N,=,mg,c,、当,v,=,时，,N,=0,b,、当,0,v,时，支持力,N,0,N,mg,mg N =,d,、当,v,时，拉力,T,T+mg =,临界条件：,小球恰能到最高点：,v,=0,；,轻杆无弹力时：,（2）有支持物模型a、当v=0时，N=mgc、当v=,例,1,、,如图所示，长为,L,的轻杆，一端固定着一个小球，另一端可绕光滑的水平轴转使小球在竖直平面内运动，设小球在最高点的速度为,v,则（）,A.v,的最小值为,B.v,若增大，向心力也增大,C.,当,v,由 逐渐增大时，杆对球的弹力也增大,D.,当,v,由,0,逐渐增大时，杆对球的弹力先减小后增大,例1、如图所示，长为L的轻杆，一端固定着一个小球，另一端可绕,例,2,、,杂技演员表演“水流星”，使装有水的瓶子在竖直平面内做半径为,0.9 m,的圆周运动，若瓶内盛有,100,g,水，瓶的质量为,400,g,，当瓶运动到最高点时，瓶口向下，要使水不流出来，瓶子的速度至少为,m/s,若瓶子在最高点的速度为,6m/s,则瓶子对水的压力为,N,，绳子受到的,拉力为,_N,。,v,mg,N,例2、杂技演员表演“水流星”，使装有水的瓶子在竖直平,v,G,N,解：,在圆周的最高点，杯子中的水受到的杯底对它的压力和重力的合力为向心力。,而压力只能：,所以水不流出的条件是：,若瓶子在最高点的速度为,6m/s,绳子受到的拉力为：,则瓶子对水的压力为,vGN 解：在圆周的最高点，杯子中的水受到的杯底对它的,例,3,、,用钢管做成半径为,R=0.5m,的光滑圆环（管径远小于,R,）竖直放置，一小球（可看作质点直径略小于管径）质量为,m=0.2kg,在环内做圆周运动，求,:,小球通过最高点,A,时，下列两种情况下球对管壁的作用力。取,g=10m/s,2,，,求：,(1)A,的速率为,1.0m/s (2)A,的速率为,4.0m/s,。,例3、用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管径远小于R）,A,O,m,解：,先求出弹力为,0,时的速率,v,0,(1)v,1,=1m/s v,0,球应受到外壁向下的弹力力,N,2,A,O,m,N,2,mg,由牛顿第三定律，球对管壁的作用力分别为：,(1),对内壁,1.6N,向下的压力,(2),对外壁,4.4N,向上的压力,.,AOm解：先求出弹力为0 时的速率v0(1)v1=1m/s,例,4,、,如图，轻细杆可绕光滑的水平轴,O,在竖直面内转动，杆的两端固定有质量均为,m=1kg,的小球,A,和,B,，球心到轴,O,的距离分别为,O=0.8m,，,BO=0.2m,。已知,A,球转到最低点时速度为,v,A,=4m/s,，问此时,A,、,B,球对杆的作用力的大小和方向？,A,B,v,A,v,B,例4、如图，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直面内转动，杆的两,解,:,两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同，由此可知：,v,A,=4m/s,时,v,B,=1m/s,对,A,球：,F,A,-mg=mv,A,2,/OA,解出：,F,A,=30N,，于是,A,球对细杆的力大小为,30N,，方向向下,对,B,球：设杆对球的作用力向下，则,F,B,+mg=mv,B,2,/OB,解出：,F,B,=-5N,，于是,B,球对细杆的力大小为,5N,，方向向下,A,B,v,A,v,B,解:两球固定在一轻杆上，它们的角速度相同，由此可知：ABv,例,5,、,如图所示，在电动机上距水平轴,O,为,r,处固定一个质量为,m,的铁块，电动机启动后达到稳定时，以角速度,做匀速圆周运动，则在转动过程中，电动机对地面的最大压力和最小压力的数值之差为多少？,例5、如图所示，在电动机上距水平轴O为r处固定一个质量为m的,【思路点拨】,当小铁块做匀速圆周运动时，小铁块转动至最低点时受杆的拉力,F,1,及重力作用，如图甲所示，此时,F,1,mg,。,当小铁块转至最高点时，铁块受向下的重力及拉力,F,2,（或向上的支持力,F,2,），如图所示,：,【解析】对铁块，由牛顿第二定律得：,甲：,F,1,-,mg,=,m,2,r,乙：,F,2,+,mg,=,m,2,r,(,或,m,g,-,F,2,=,m,2,r,),由两式得：,F,1,F,2,=2,m,2,r,.,由牛顿第三定律知，铁块对杆、杆对电动机两个作用力的差即为,：,2,m,2,r,.,铁块转至最高点时，电动机对地面的压力,F,N,最小,为：,F,N,=,Mg,F,2,，其中,M,为电动机的质量,.,电动机对地面的最大压力为,：,F,N,=,Mg,+,F,1,故,：,F,N,-,F,N,=,F,1,F,2,=2,m,2,r,【思路点拨】当小铁块做匀速圆周运动时，小铁块转动至最低点时受,例,6,、,如图所示，水平转台上放着,A,、,B,、,C,三物，质量分别为,2m,、,m,、,m,，离转轴距离分别为,R,、,R,、,2R,，与转台动摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法正确的是（）,A,若三物均未滑动，,C,物向心加速度最大,B,若三物均未滑动，,B,物受摩擦力最大,C,转速增加，,A,物比,B,物先滑动,D,转速增加，,C,物先滑动,例6、如图所示，水平转台上放着A、B、C三物，质量分别,例,7,、,细绳一端系着质量,M=0.6,千克的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量,m=0.3,千克的物体，,M,与圆孔距离为,0.2,米，并知,M,和水平面的最大静摩擦力为,2,牛，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度,在什么范围,m,会处于静止状态？,(g,取,10,米,/,秒,2,),m,M,O,r,例7、细绳一端系着质量M=0.6千克的物体，静止在水平面，另,m,M,O,r,解：,当,具有最小值时，,M,有向圆心运动趋势，故水平面对,M,的摩擦力方向和指向圆心方向相反，且等于最大静摩擦力,2,牛。,当,具有最大值时，,M,有离开圆心趋势，水平面对,M,摩擦力方向指向圆心，大小也为,2,牛。,故,范围是：,2.9,弧度,/,秒,6.5,弧度,/,秒。,隔离,M,有：,解得：,隔离,M,有：,解得：,mMOr 解：当具有最小值时，M有向圆心运动趋势，故,例,8,、,如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为,M,的质点,P,，与穿过中央小孔的轻绳一端连着。平板与小孔是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为,a,、角速度为,的匀速圆周运动,.,若绳子迅速放松至某一长度,b,而拉紧，质点就能在以半径为,b,的圆周上做匀速圆周运动,.,求：（,1,）质点由半径,a,到,b,所需的时间，,（,2,）质点在半径为,b,的圆周上运动的角速度。,P,F,例8、如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为M的质点P,b,a,V,解：（,1,）,绳子迅速放松后质点,P,沿切线做匀速直线运动。如图所示，质点做匀速直线运动的距离为：,做匀速直线运动速度大小为,所以质点由半径,a,到,b,所需的时间为,（,2,）,绳子绷直的瞬间，质点的法向速度,V,2,变为,0,，此后质点以切向速度,V,1,作半径为,b,的匀速圆周运动。,而：,所以：,baV解：（1）绳子迅速放松后质点P沿切线做匀速直线运动。,例,9,、,如图所示，一个人用长为,l,=1m,，只能承受,T,m,=46N,拉力的绳子，拴着一质量为,m=1kg,的小球，在竖直平面内做圆周运动。已知圆心,O,离地面高,h=6m,，转动中小球在最低点时绳子断了。,（,1,）绳子断时小球运动的角速度多大？,（,2,）绳子断后，小球落点到抛出点的水平距离是多大？,h,v,R,（,1,）,6 rad/s,（,2,）,6 m,例9、如图所示，一个人用长为l=1m，只能承受Tm=46N拉,例,10,、,一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角,=30,。一条长为,L,的绳（质量不计），一端固定在圆锥体顶点,O,处，另一端栓着一个质量为,m,的小物体（可视为质点）。小物体以速率,V,绕轴线做水平匀速圆周运动。求：,当 时,绳对物体的拉力。,当 时，求绳,对物体的拉力。,30,0,O,例10、一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，,解：,物体刚要离开锥面时，锥面对物体的支持力为,0,，设此时线速度为,V,0,。,mg,T,Y,方向：,X,方向：,解得：,mg,T,Y,方向：,X,方向：,解得：,（,1,）,当 时，,锥面对物体有支持力。,N,解：物体刚要离开锥面时，锥面对物体的支持力为0，设此时线速度,Y,方向：,X,方向：,解得：,（,2,）,当 时，锥面对物体无支持力，物体已离开锥面高，设,表示绳与轴线之间的夹角,。,两式整理得：,Y方向：X方向：解得：（2）当,例,11,、,如图所示，两绳系一质量为,m,0.1kg,的小球，上面绳长,L,2m,，两绳都拉直时与轴的夹角分别为,30,与,45,，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为,3 rad/s,时，上、下两绳拉力分别为多大？,30,45,A,B,C,分析：当角速度,很小时，,AC,和,BC,与轴的夹角都很小，,BC,并不张紧。当,逐渐增大使,AC,绳与轴成,30,时，,BC,才被拉直（这是一个临界状态），但,BC,绳中的张力仍然为零。,例11、如图所示，两绳系一质量为m0.1kg的小球，上面绳,解：当角速度,为最小值,1,时，,T,BC,=0,，则有：,T,AC,cos30,mg,T,AC,sin30,m L,sin30,1,2,将已知条件代入上式解得,1,2.4 rad/s,解：当角速度为最小值1时，TBC=0，则有：,当角速度,为最大值,2,时，,T,AC,0,，则有：,T,BC,cos45,mg,T,BC,sin45,m L,sin30,2,2,将已知条件代入上式解得,2,3.16 rad/s,所以，当,满足,2.4 rad/s,3.16 rad/s,时，,AC,、,BC,两绳始终张紧。,当角速度为最大值2时，TAC0，则有：,设,=,3rad,/,s,时两绳拉力分别为,F,AC,和,F,BC,，则有：,F,AC,sin30,F,BC,sin45,m L,sin30,2,F,AC,cos30,F,BC,cos45,mg,将数据代入上面两式解得,F,AC,0.27N,F,BC,1.09N,设=3rad/s时两绳拉力分别为FAC和FBC，则有：F,（,1,）,3.65 rad/s,（,2,）,4 rad/s,（,3,）,A,随圆盘一起匀速转动，,B,离心运动,例,12,、,如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置着两个用细线相连的小物体,A,、,B,，它们的质量均为,m,，它们到转轴距离分别为,r,A,=20 cm,，,r,B,=30 cm,，,A,、,B,与盘面间的最大静摩擦力均为重力的,0.4,倍，试求：（,g,取,10 m/s,2,）,（,1,）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度,0,；,（,2,）当,A,开始滑动时，圆盘的角速度,；,（,3,）当,A,物体即将滑动时，烧断细线，,A,、,B,状态如何？,（1）3.65 rad/s例12、如图所示，匀速转动的水平圆,解,：（,1,）圆盘转动角速度达到,0,时，圆盘对,B,的摩擦力达到最大静摩擦力,f,m,f,m,=,0.4,mg=mr,B,0,2,（,2,）当,A,即将开始滑动时，,A,、,B,都达到最大静摩擦力,对,A:,0.4,mg,-,T=mr,A,2,对,B:,T +,0.4,mg=mr,B,2,解：（1）圆盘转动