单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,八年级 上册,第十二章全等三角形,角的平分线的性质,第一课时,预习检测,1,、角平分线的概念,2,、,点到直线距离的意义,。,一条射线,把一个角,分成两个相等的角，,这条射线,叫做这个角的平分线。,从直线外一点,到这条直线的,垂线段,的长度,，,叫做,点到直线的距离,。,3,、下列两图中，能表示角的平分线上的一点,P,到角的边上的距离的是（）,PM,A,P,M,A,P,N,DE=DF,DEB=DFC=90.,PDO=PEO（垂直的定义）,问题1：第一次的折痕和角有什么关系？,OP=OP（公共边）,PD OA，PE OB（已知）,1：如图,ABC中,C=90,EDAB,1=2,且AC=6cm,那么线段BE是ABC的 ，AE+DE=.,定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,操作测量：1、取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.,如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.,1=2（已证）,PDO=PEO（垂直的定义）,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？,操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.,1=2（已证）,观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：_,点P是射线OC上的任意一点,PD OA，PE OB（已知）,观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：_,（角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,2、点到直线距离的意义。,这条射线叫做这个角的平分线。,点P是射线OC上的任意一点,1=2（角平分线的定义）,在生产生活中，这些方法是否可行呢？,探究新知,问题,1,：在,练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？,主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等,2、点到直线距离的意义。,DE=DF,DEB=DFC=90.,已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,=,CA=CA,1：如图,ABC中,C=90,EDAB,1=2,且AC=6cm,那么线段BE是ABC的 ，AE+DE=.,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.,问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？,如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.,做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.,OP 是AOB的平分线，,2、点到直线距离的意义。,定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,（角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？,PDO PEO（AAS）,点P是射线OC上的任意一点,问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？,猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？,点P是射线OC上的任意一点,如果把纸片换成木板、钢板等没法折的角，,这条射线叫做这个角的平分线。,A,O,B,C,1:,用折纸的方法来作,.,2:,用量角器来作,.,如果,把纸片换成木板、钢板等没法折的角,，,又,该怎么办呢？,如图,是一个平分角的仪器,其中,AB=AD,BC=DC,.,将点,A,放在角的顶点,AB,和,AD,沿着角的两边放下,沿,AC,画一条射线,AE,AE,就是角平分线,.,你能说明它的道理吗,?,其依据是,SSS,，两全等三角形的对应角相等,.,A,B,C,(,E,),D,证明：,在,ACD,和,ACB,中,AD=AB,DC=BC,CA=CA,ACD ACB,（,SSS,）,CAD=CAB,AC,平分,DAB,A,B,C,(,E,),D,操作：,用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕,.,问题,1,：,第一次的折痕,和角有什么关系？,问题,2,：,第二次,折叠形成的,两条折痕,与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？,动起来,操作测量：,1,、取点,P,的三个不同的位置，分别过点,P,作,PDOA,，,PE OB,点,D,、,E,为垂足，测量,PD,、,PE,的长,.,将三次数据填入下表：,2.,观察测量结果，猜想线段,PD,与,PE,的大小关系，写出结论：,_,PD,PE,第一次,第二次,第三次,C,O,B,A,PD=PE,p,D,E,实验：,OC,是,AOB,的平分线，,点,P,是射线,OC,上的任意一点,猜想：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,证明：,OC,平分,AOB,（已知）,1=2,（角平分线的定义）,PD,OA,，,PE,OB,（已知）,PDO=PEO,（垂直的定义）,在,PDO,和,PEO,中,PDO=PEO,（已证）,1,=,2,（已证）,OP=OP,（公共边）,PDO,PEO,（,AAS,）,PD=PE,（全等三角形的对应边相等）,P,A,O,B,C,E,D,1,2,探究新知,性质定理：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,应用所具备的条件：,（,1,）,角的平分线；,（,2,）,点在该平分线上；,（,3,）,垂直距离,.,定理的作用：,证明线段相等,.,应用格式：,OP,是,AOB,的平分线，,PD=PE,（,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,）,.,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个,.,PD,OA,PE,OB,，,B,A,D,O,P,E,C,1.,如图，,AD,平分,BAC,（已知）,=,（角的平分线上的点到角的两边的,距离,相等。）,BD CD,（,）,当堂练习,2.,如图，,DCAC,，,DBAB,（已知）,=,，,(),角的平分线上的点,到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（,）,A,D,C,B,3.AD,平分,BAC,DCAC,，,DBAB,（已知）,=,，（）,DB,DC,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,(),A,D,C,B,这条射线叫做这个角的平分线。,（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.,PDO PEO（AAS）,已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.,点P是射线OC上的任意一点,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,方法:用尺规作角的平分线.,1：如图,ABC中,C=90,EDAB,1=2,且AC=6cm,那么线段BE是ABC的 ，AE+DE=.,如果把纸片换成木板、钢板等没法折的角，,PD OA，PE OB（已知）,1=2（角平分线的定义）,=，（）,DBAB （已知）,PD OA，PE OB（已知）,1：如图,ABC中,C=90,EDAB,1=2,且AC=6cm,那么线段BE是ABC的 ，AE+DE=.,PDO=PEO（已证）,RtBDE RtCDF.,做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.,PDO=PEO（垂直的定义）,猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等,问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？,观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：_,1=2（已证）,猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,操作测量：1、取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PE OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.,PDO PEO（AAS）,猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,点P是射线OC上的任意一点,AC平分DAB,1=2（角平分线的定义）,1=2（角平分线的定义）,观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：_,1=2（已证）,2、点到直线距离的意义。,如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,AC平分DAB,CA=CA,DC=BC,AD=AB,PD OA，PE OB（已知）,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,PDO=PEO（垂直的定义）,ACD ACB（SSS）,RtBDE RtCDF.,1：如图,ABC中,C=90,EDAB,1=2,且AC=6cm,那么线段BE是ABC的 ，AE+DE=.,2、点到直线距离的意义。,其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.,角的平分线的性质的作用是什么？,主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等,归纳总结,驶向胜利的彼岸,例一,.,已知,:,如图,在,ABC,中,AD,是它的角平分线,且,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是,E,F.,求证,:EB=FC.,老师期望,:,做完题目后,一定要,“,悟,”,到点东西,纳入到自己的认知结构中去,.,B,A,E,D,C,F,A,B,C,D,E,F,证明：,AD,是,BAC,的角平分线，,DE,AB,DF,AC,，,DE=DF,DEB=DFC,=90.,在,Rt,BDE,和,Rt,CDF,中，,Rt,BDE,Rt,CDF,.,EB=FC,.,BD=C,D,，,B=C,，,DEB=DFC,，,1,：如图,ABC,中,C=90,EDAB,1=2,且,AC=6cm,那么线段,BE,是,ABC,的,，,AE+DE=,.,C,1,2,A,B,E,D,角平分线,6cm,课堂练习,2.ABC,中,C=90,0,AD,平分,CAB,且,BC=8,BD=5,求点,D,到,AB,的距离是多少,？,A,B,C,D,E,达标检测,回味无穷,本节课我学到了,:,定理,角平分线上的点到这个角的两边距离相等,.,OC,是,AOB,的平分线,P,是,OC,上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是,D,E(,已知,),PD=PE(,角平分线上的点到这个角的两边距离相等,).,方法,:,用尺规作角的平分线,.,.,小结 拓展,O,C,B,1,A,2,P,D,E,作业布置,谢谢,