*,长江大学,结构稳定理论,张系斌,长江大学城市建设学院,1,结构稳定理论张系斌1,2.3 轴心受压构件的扭转失稳,一般双轴对称截面的轴心受压构件，可能绕截面的两个对称轴发生弯曲失稳；但是对于抗扭刚度弱的轴心受压构件（如双轴对称十字形截面轴心受压构件），还可能发生绕纵轴的扭转失稳。,2,2.3 轴心受压构件的扭转失稳 一般双轴对,2.3.1 扭转的类型,钢结构中一般采用非圆截面构件，此类构件的扭转与圆形截面构件的不同，前者扭转后的截面不再保持平面，而要发生翘曲（截面凹凸），即截面上各点产生轴向位移。如果能够自由翘曲，外扭矩将全部由剪应力抵抗，这类扭转称为自由扭转、纯扭转或均匀扭转；如果截面不能自由翘曲，则外扭矩由剪应力和翘曲扭矩共同抵抗，这类扭转称为约束扭转或非均匀扭转。,3,2.3.1 扭转的类型 钢结构中一般采,1、自由扭转：,自由扭转有两个特点：,构件各截面的翘曲相同。因此，构件的纵向纤维不产生轴向应变，截面上没有正应力而只有扭转引起的剪应力。,纵向纤维不发生弯曲，即翼缘和腹板的纵向纤维保持直线，上下翼缘相互仅扭转了一个角度（扭转角）。,4,1、自由扭转：自由扭转有两个特点：构件各截面的翘曲相同。,由弹性力学知，非圆截面杆自由扭转时的扭矩与扭率之间的关系为,式中：,G,为材料的剪切弹性模量；,I,t,为截面的自由扭转惯性矩或称为截面的扭转常数。对于由几个狭长矩形板件组成的开口薄壁构件截面，如工字形、T形、槽形和角形等截面，总的截面扭转常数可近似取为各板件的扭转常数,I,i,t,之和，即,式中：,b,i,和,t,i,分别为第,i,个狭长板件的高度和厚度；,n,为组成截面的狭长矩形的数目；,k,为截面形状系数，角钢截面,k,=1.0，工字钢截面,k,=1.31，槽钢截面,k,=1.12，T形钢截面,k,=1.15，组合截面,k,=1.0。,5,由弹性力学知，非圆截面杆自由扭转时的扭矩与扭率之间的关系为式,开口薄壁构件自由扭转时，截面上的剪应力方向与中心线平行，且沿薄壁厚度,ti,线性分布，在中心线上剪应力为零（如图），相当于在截面内形成闭合循环的剪力流。截面周边上任意点的剪应力为,6,开口薄壁构件自由扭转时，截面上的剪应力方向与中心线平行，且沿,2、约束扭转：,约束扭转的特点：,约束使纵向纤维不能自由伸缩，产生纵向正应力，称为翘曲正应力。因各纤维正应力不同，导致构件弯曲，所以约束扭转又称为弯曲扭转。由于构件弯曲，除了产生弯曲扭转正应力，必将产生弯曲扭转剪应力，也称扇性剪应力。,纵向纤维发生弯曲，扭率沿杆长变化。,7,2、约束扭转：约束扭转的特点：约束使纵向纤维不能自由伸缩，,为了简化约束扭转计算，通常采用两个基本假定：,刚性周边假定，即构件的垂直于其轴线的截面投影形状在扭转变形前后不变。,板件中面的剪应变为零。组成构件的各板件，当厚度,t,与宽度,b,之比小于或等于1/10，轮廓尺寸与构件的长度之比小于或等于1/10，则构件弯曲和扭转时的剪应变极其微小，对构件的影响可以忽略不计。,8,为了简化约束扭转计算，通常采用两个基本假定：8,以图a所示双轴对称工形截面非均匀扭转构件为例，根据图b所示扭转变形与受力条件，可以推导出构件翘曲扭矩,M,w,的计算公式,截面在翘曲扭矩,M,w作用下绕剪心,S,的扭转角为，下翼缘在方向的位移为,9,以图a所示双轴对称工形截面非均匀扭转构件为例，根据图b所示扭,单个翼缘的弯矩,截面在翘曲扭矩,M,w作用下绕剪心,S,的扭转角为，下翼缘在方向的位移为,上下翼缘的弯矩大小相等但方向相反，形成一种称为双力矩的内力,B,w,，即,式中，,I,1,为一个翼缘截面对轴的惯性矩。,称其为翘曲惯性矩，或称为翘曲扭转常数，也是截面的一种几何性质，单位是长度的6次方。,10,单个翼缘的弯矩 截面在翘曲扭矩Mw作用下绕剪心S的扭转角为，,双力矩,B,w,可表达为,式中,EI,w,称为翘曲刚度。,上下翼缘在弯矩,M,f,作用下必然产生剪力，图b中翼缘剪力,则可得到翘曲扭矩,M,w,翘曲扭矩与双力矩之间的关系为,11,双力矩Bw可表达为 式中EIw称为翘曲刚度。上下翼缘在弯矩,翼缘因翘曲而产生的翘曲正应力和翘曲剪应力分布见图c，其计算公式分别为,12,翼缘因翘曲而产生的翘曲正应力和翘曲剪应力分布见图c，其计算,将自由扭矩表达式和翘曲扭矩式代入,得到,约束扭转的扭矩平衡方程,式中：,GI,k,为截面的自由扭转刚度；,EI,w,为截面的翘曲刚度；,M,z,为约束扭转外扭矩。,自由扭矩表达式,和翘曲扭矩,13,将自由扭矩表达式和翘曲扭矩式代入 得到约束扭转的扭矩平衡方程,2.3.2 轴心受压构件弹性扭转失稳,对于抗扭刚度低的双轴对称截面轴心受压构件（如十字形截面构件），可能在轴向压力尚未达到欧拉临界力之前，构件就发生绕纵轴的扭转失稳。本节着重讨论如何确定弹性扭转屈曲荷载及残余应力、边界条件对屈曲荷载的影响。,14,2.3.2 轴心受压构件弹性扭转失稳,1、轴心受压构件弹性扭转屈曲荷载：,15,1、轴心受压构件弹性扭转屈曲荷载：15,图a所示双轴对称工形截面轴心受压构件，两端夹支或称为简支，所谓夹支是指构件的端部截面只能绕两个主轴,x,、,y,自由转动，而不能绕纵轴,z,扭转，并且端部截面的翼缘可以自由翘曲。,用平衡法求扭转屈曲荷载，需研究图b所示构件绕纵轴有微小扭转角时的受力条件。,在距原点为,z,处截面的扭转角为,z+dz处截面的扭转角为+d.,图e所示在微段 dz内的任一纤维,DE,因构件扭转而位移至,DE,DE,与竖直线,DE,之间的夹角为,水平面内,E,与截面剪心,S,相距。由于夹角 很小，则有,16,图a所示双轴对称工形截面轴心受压构件，两端夹支或称为简支，所,由于纤维有倾斜，作用于纤维上端处的力,dA在水平面内产生分力dA，绕剪心,S,形成扭矩 dA。,构件扭转时，全截面形成的约束扭矩为,对双轴对称截面,17,由于纤维有倾斜，作用于纤维上端处的力 dA在水平面内,由于纤维有倾斜，作用于纤维上端处的力,dA在水平面内产生分力dA，绕剪心,S,形成扭矩 dA。,18,由于纤维有倾斜，作用于纤维上端处的力 dA在水平面内,离原点距离为,z,处截面的扭矩平衡方程为,令,则,通解为,19,离原点距离为z处截面的扭矩平衡方程为 令 则 通解为19,由边界条件,则得弹性扭转屈曲临界荷载,相应的临界应力,表达成同弯曲屈曲相仿的形式,扭转屈曲长细比,20,由边界条件 则得弹性扭转屈曲临界荷载相应的临界应力表达成同弯,不考虑残余应力的弹塑性 扭转屈曲荷载,冷弯薄壁型钢轴心受压构件中的残余应力对扭转屈曲荷载影响很小，当截面的扭转屈曲应力超过比例极限后，用切线模量E,t,代替弹性模量E，剪切模量G不变，仍分别计算弹塑性扭转屈曲荷载和屈曲应力。,结论,21,不考虑残余应力的弹塑性 扭转屈曲荷载,2、残余应力对扭转屈曲荷载的影响：,焊接工形截面残余应力分布,（拉应力为正，压应力为负）,22,2、残余应力对扭转屈曲荷载的影响：焊接工形截面残余应力分布2,由于纤维有倾斜，作用于纤维上端处的力,dA在水平面内产生分力dA，绕剪心,S,形成扭矩 dA。,构件扭转时，全截面形成的约束扭矩为,对双轴对称截面,复习,23,由于纤维有倾斜，作用于纤维上端处的力 dA在水平面内,由于纤维有倾斜，作用于纤维上端处的力,dA在水平面内产生分力dA，绕剪心,S,形成扭矩 dA。,复习,24,由于纤维有倾斜，作用于纤维上端处的力 dA在水平面内,发生约束扭转时，有纵向残余应力,rs,的轴心受压构件，由于纤维倾斜，,rs,dA,在水平面内同样产生水平分力,rs,dA,，计算约束扭矩,M,Z,时应考虑在内，即,式中,残余压应力,rs,取正号，拉应力取负。,考虑残余应力影响的约束扭转的扭矩平衡方程为,令,可解出扭转屈曲荷载,25,发生约束扭转时，有纵向残余应力rs的轴心受压构件，由于纤维,从上式中可以看出，残余应力对轴心受压构件扭转屈曲的影响取决于,R,的大小和正负号。,R,值与截面残余应力的分布情况有关，对翼缘为轧制边的焊接工形截面，残余应力分布如图a所示，,R,是正值，将降低,P,W,值；而当翼缘为火焰切割边时，残余应力分布见图b，R为负，将提高,P,W,值。,26,从上式中可以看出，残余应力对轴心受压构件扭转屈曲的影响取决于,3、构件端部边界条件的影响：,对图所示两端有弹簧约束的轴心受压构件，上、下端的扭转约束刚度（单位转角抵抗扭矩）分别为 r,A,和r,B。,构件的约束扭转平衡方程为,令,则扭转屈曲荷载为,27,3、构件端部边界条件的影响：对图所示两端有弹簧约束的轴心受压,令,则得到扭转屈曲荷载的通式,为扭转屈曲计算长度系数,扭转屈曲计算长度,临界应力,为扭转屈曲长细比,28,令则得到扭转屈曲荷载的通式为扭转屈曲计算长度系数 扭转屈曲计,2.3.3 轴心受压构件弹塑性扭转失稳,当扭转屈曲应力超过钢材的比例极限时，轴心受压构件可能发生弹塑性扭转失稳。根据是否考虑残余应力的影响，可将计算弹塑性扭转屈曲荷载的方法分为两种。,29,2.3.3 轴心受压构件弹塑性扭转失稳,2、考虑残余应力的弹塑性扭转屈曲荷载,残余应力分布（压应力为负，拉应力为正）,30,2、考虑残余应力的弹塑性扭转屈曲荷载残余应力分布（压应力为,考虑残余应力影响的轴心受压构件，如果按弹性公式(下式)得到的扭转屈曲应力,大于有效比例极限,计算时，假设材料为理想弹塑性体，在塑性区，变形模量,构件若屈曲则处于弹塑性失稳状态。,而剪切模量,以双轴对称工形截面轴心受压构件为例，若其残余应力分布如图2.25所示（忽略腹板及腹板的残余应力），随荷载增加，残余压应力最大处首先屈服，导致弹性部分逐渐减小。当弹性区高度减小到,b,时，受压构件扭转失稳。此时翘曲扭矩和自由扭矩分别为,为截面弹性区的翘曲惯性矩；,为截面弹性区的抗扭惯性矩；,为截面塑性区的抗扭惯性矩,31,考虑残余应力影响的轴心受压构件，如果按弹性公式(下式)得到的,翘曲扭矩,为截面弹性区的面积；,为截面塑性区的面积。,扭转屈曲平衡微分方程为,32,翘曲扭矩 为截面弹性区的面积；为截面塑性区的面积。扭转,令,对两端夹支的轴心受压构件有,均为弹性区范围系数,的函数（见图）,所以可以由上式求出,，,然后根据构件扭转屈曲的截面应力的实际分布情况，计算构件弹塑性扭转失稳的临界荷载,P,cr,33,令对两端夹支的轴心受压构件有均为弹性区范围系数的函数（见图,【,例题2.8,】两端夹支的双轴对称工形截面轴心受压构件长4，翼缘中残余应力分布如图所示，忽略腹板残余应力的影响。钢材,计算临界应力。,34,【例题2.8】两端夹支的双轴对称工形截面轴心受压构件长4，,35,35,截面弹性区翘曲惯性矩,36,截面弹性区翘曲惯性矩36,37,37,38,38,由计算可知,说明考虑残余应力的弹塑性失稳，由绕弱轴的弯曲失稳起控制设计作用。,39,由计算可知 说明考虑残余应力的弹塑性失稳，由绕弱轴的弯曲失稳,40,40,谢谢！,41,谢谢！41,