单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,模糊与概率,思路：结论：,模糊和概率的基本知识,模糊集合的几何图示,模糊集合的大小,模糊集合的模糊程度,模糊集合间的包含关系,如何用模糊集合间的包含关系表征某个模糊集合的模糊程度,概率表征不完备,超立方体中的点的集合,隶属度函数和,模糊熵,模糊包含度,模糊熵包含度定理,一、模糊和概率的基本知识,1.是否不确定性就是随机性？似然比、概率是否代表了所有的不确定性？,Bayesian camp：概率是一种主观的先验知识，不是一种频率,和客观测量值,Lindley：概率是对不确定性唯一有效并充分的描述，所有其,他方法都是不充分的,相似：通过单位间隔0,1间的数来表述不确定性，都兼有集,合、相关、联系、分布方面的命题,区别：对待 。经典集合论，,代表概率上不可能的事件。而模糊建立在,（1）是否 总是成立的？,考虑能否逻辑上或部分地违背“无矛盾定理”（Aristotle的,三个思考定理之一，同时排中定理 ，同一,性定理 这些都是非黑即白的经典定理。）,模糊（矛盾）的产生，就是西方逻辑的结束,（2）是否可以推导条件概率算子？,经典集合论中：,模糊理论：考虑超集 是其子集 的子集性程,度，这是模糊集合的特有问题。,不精确的椭圆,概率上的椭圆还是模糊的椭圆？可否？,证实了概率论是一种有限测量理论。,二、模糊集合的几何图示：sets as points,将论域X的所有模糊子集模糊幂集合 看成一个超立,方体 ，将一个模糊集合看成是立方体内的一个点。,非模糊集对应立方体的顶点。中点离各顶点等距，最大模糊。,也是唯一满足以下特性的点：,（多值连续集合理论）,模糊集合A是单位“二维立方体”中的一个点，其坐标(匹配值)是（1/3，3/4）。表明第一个元素x,1,属于A的程度是1/3，第二个元素x,2,的程度是3/4。立方体包含了两个元素x,1，,x,2,所有可能的模糊子集。四个顶点代表x,1，,x,2,的幂集2,X,。对角线连接了模糊集合及其补集。,三、模糊集合的大小隶属度函数和,A=(1/3,3/4)的计数等于M(A)=1/3+3/4=13/12。计数M(A)等于从原点到A的矢量的模糊汉明范数(l,1,范数)。（X,I,n,M）定义了模糊理论的基本测量空间。,两个模糊集合A和B的 距离：,距离就是如上图所示的欧几里德距离。最简单的距离就是,模糊汉明距离 ，它是坐标差值的绝对值之和。利用模糊汉,明距离，计数 M可以写成 距离的形式：,模糊熵定理：,模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西方逻辑”的终止。（）,点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长方形F(2,B,)外不同的点A是B的不同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属于F(2,B,)的不同程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度：,利用失配法(fit-violation strategy)，假定X包含有100个元素：X=x,1,x,100,。而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系，使得m,A,(x,1,)m,B,(x,1,)。直观上，我们认为A大部分是B的子集。可以估算，子集性为S(A,B)=0.01，并且，如果X包括1兆个元素，A几乎完全是B的子集了。可见失配的幅度m,A,(x,1,)-m,B,(x,1,)越大，失配的数目相对于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集，或者说，A就越象是B的超集。直观上有：,这种包含度度量满足主导隶属度函数关系，当 时，S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，则分子被加数应都为0，因此主导隶属度函数关系都满足。反之，当且仅当B是空集时，S(A,B)=0。而空集本来就无法包含集合，无论是模糊集还是非模糊集。在这两种极端情况之间，包含度的程度为：,0 S(A,B)M(A,2,)。考虑归一化，进一步猜测：,假定p=1，令 正交性表明：设 其充要条件是没有失配现象发生，恒有 。所以,设 其充要条件是有失配现象 发生，这时 ，,对于其它i,综上：,这种证明方法同样给出了优化子集B,*,的一个更重要的性质：因为如果有一个失配关系，那么 ，所以 ，其余的 ，所以 故 。,B,*,是具有双重优化特性的点，它既是离A最近的B 的子集，也是离B最近的A的子集A,*,:,包含度定理：,推导相对频率：,六、如何用模糊集合间的关系表征某个模糊集合的模糊程度,熵-包含度定理：,将包含度定理中的A、B分别用 和 代替，并注意到交集 是并集 的子集，即可证得。或使用距离表示法,图示二维的熵-包含度定理。交集 是并集 的子集。可见长对角线的长度相等，所以并集 与交集 的模糊幂集所构成的超长方形间的最优距离d,*,满足：,