,高等数学,下页,结束,返回,*四、二重积分的换元法,其次节,二、利用直角坐标计算二重积分,三、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,下页,一、曲顶柱体体积的计算,(二重积分几何意义),对于平面区域,称,D,为,X,-,型区域,.,、平面区域的两种根本类型,下页,对于平面区域,称,D,为,Y,-,型区域,.,一、曲顶柱体体积的计算,-几何意义,设曲顶柱体的底为,任取,平面,截面积为,截柱体的,O,一、曲顶柱体体积的计算,-几何意义,设曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,(,元素法,),截面积为,截柱体的,记作,下页,先写类型积分限,类型积分后计算,同样,曲顶柱体的底为,则其体积可这样计算:,下页,先写类型积分限,类型积分后计算,例1.,求两个底圆半径为,R,的直交圆柱面所围的体积.,解:,设两个圆柱面的方程为,利用对称性,考虑第一卦限局部,其曲顶柱体的顶为,所求体积为,下页,其底为,且在,D,上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,假设D为 X-型区域,则,假设D为Y-型区域,则,二、利用直角坐标计算二重积分,下页,均非负,因此上面争论的累次积分法仍旧有效.,下页,当被积函数在积分域上,变号,时,所述方法仍可用.,这是由于:,说明:(1)假设积分区域既是 X-型区域又是Y-型区域,为计算便利,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)假设积分域较简单,可将它分成假设干,X,-,型域或,Y,-,型域,则,下页,例2.,计算,其中,D,是直线,y,1,x,2,及,y,x,所围的闭区域.,解法1,将,D,看作,X,-,型区域,则,解法2,将,D,看作,Y,-,型区域,则,下页,例3.,计算,其中,D,是抛物线,所围成的闭区域.,解:,为计算简便,先对,x,后对,y,积分,及直线,则,下页,例4.,计算,其中,D,是直线,所围成的闭区域.,解:,由被积函数可知,因此取,D,为,X,-,型域:,先对,x,积分不行,说明:有些二次积分为了积分便利,还需交换积分挨次.,下页,例5.交换以下积分挨次,解:积分域由两局部组成:,视为,Y,-,型区域,则,下页,例6.,计算,其中,D,由,所围成.(奇函数例如),解:,令,(如下图),明显,下页,说明,说明,:,如图作帮助线,D1分成两局部:,D,12,D,11,奇函数,对称区间,返回,三、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆,r,=常数,增量为,r,下页,分划区域,D,.,射线,=常数,增量为,三、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆,r,=常数,增量为,r,下页,分划区域,D,.,射线,=常数,增量为,又,故,设,则,特殊,对,下页,此时假设 f 1 则可求得D 的面积,思考:以下各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试,答:,问,的变化范围是什么?,(1),(2),下页,例7.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故此题无法用,由于,故,直角坐标计算.,下页,注:,利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上,特别有用的反常积分公式,因,又,下页,例8.,求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:,设,由对称性可知,下页,练习,:,计算,其中,D,由曲线,与极轴围成.,下页,转小结,*四、二重积分换元法,定积分换元法,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理.,变换:,是一一对应的,下页,证:依据定理条件可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,通过变换,T,在,xOy,面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,下页,其顶点为,同理得,当,h,k,充分小时,曲边四边形,M,1,M,2,M,3,M,4,近似于平行四,边形,故其面积近似为,下页,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,下页,例9.,计算,其中,D,是,x,轴,y,轴和直线,所围成的闭域.,解:,令,则,下页,例10.,计算由,所围成的闭区域,D,的面积,S,.,解:,令,则,下页,例11.,试计算椭球体,解:,由对称性,令,则,D,的原象为,的体积,V,.,下页,内容小结,(1)二重积分化为二次积分的方法,直角坐标系情形,:,假设积分区域为,则,假设积分区域为,则,下页,老式写法,则,*,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:假设积分区域为,在变换,下,下页,(3)计算步骤及留意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分别,积分域分块要少,累次积分好算为妙,图示法,不等式,(先写类型积分限,类型积分后计算),充分利用对称性,*应用换元公式,下页,1.,设,且,求,提示:,交换积分序得,下页,思考与练习,2.交换积分挨次,提示:,积分域如图,下页,作业,(习题10-2,P153),(直),1(2),(4);2(3),(4);,5;6(2),(4);7;8,(极),11(1),(2);13(3);,14(2);15(1),完毕,解：,原式,备用题,1.,给定,转变积分的次序.,下页,2.,计算,其中,D,为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,完毕,三、利用极坐标计算二重积分,(原),对应有,在极坐标系下,用同心圆,r,=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线,=常数,分划区域,D,为,下页,即,下页,